Funzioni automorfe, sottogruppi discreti di PGL(2,C) e uniformizzazione

La tesi è un'introduzione da un un punto di vista elementare alla teoria delle funzioni automorfe e dei gruppi discreti di trasformazioni lineari fratte. Nell'ultima parte si delinea il legame con il problema dell'uniformizzazione delle superfici di Riemann. La prima parte tratta le trasformazioni lineari fratte (e le loro principali proprietà): da un lato, esse costituiscono i fondamenti di questa teoria e dall'altro verranno riprese per tutta la durata della tesi nello sviluppo degli argomenti. Si discutono poi l'azione di sottogruppi discontinui di queste trasformazioni sulla sfera di Riemann e le nozioni di regione fondamentale, insieme ordinario e insieme limite. L'approccio sarà geometrico-dinamico; l'introduzione del concetto di cerchio isometrico contribuisce a semplificare l'esposizione. In seguito, si studiano alcune classi rilevanti di gruppi discontinui: i gruppi Fuchsiani e i gruppi elementari. Si evidenziano le caratteristiche geometriche delle regioni fondamentali e dell’insieme limite, nei vari casi. Si dimostrano inoltre dei teoremi di classificazione dei gruppi elementari. Successivamente, un capitolo è riservato alle funzioni automorfe e ad esempi notevoli come le serie theta di Poincaré, le funzioni di Weierstrass e le funzioni modulari ellittiche. Infine, dopo alcuni preliminari di topologia, si enuncia il classico teorema di uniformizzazione di Klein-Poincaré e si discutono alcune sue conseguenze, in particolare nel caso delle curve algebriche e delle superfici di Riemann compatte.