RANEY EXTENSIONS AS POINTFREE T_0 SPACES

Pointfree topology is an approach to topology that takes the notion of open set as primitive, rather than that of point. There exists a dual adjunction between the category of topological spaces and that of complete lattices satisfying a certain distributivity law. These are called frames, and in pointfree topology they are regarded as topological spaces. One of the functors involved in the adjunction mentioned above assigns to each topological space its ordered collection of open sets, which is always a frame. The fixpoints of this adjunction are spatial frames on one side and sober spaces on the other. All Hausdorff spaces are sober, and all sober spaces are T_0. One of the great advantages of pointfree topology is that the category of frames is algebraic, unlike that of sober spaces. In this category, we can prove constructively results that classically require some choice principle, such as the Tychonoff Theorem or the Hofmann-Mislove Theorem (useful in domain theory). This is why the fact that the category of frames is an extension, and not a perfect representation, of that of sober spaces is an advantage; and this is why in pointfree topology we work in this category, and not in the smaller one of spatial frames. In this thesis, we propose to extend the dual adjunction at the core of pointfree topology in order to capture not only sober spaces but all T_0 spaces. A similar approach had already been outlined: Raney duality establishes a dual equivalence of categories between the category of T_0 spaces and that of the so-called Raney algebras. But Raney algebras are not a generalization of T_0 spaces; they are a perfect representation. Therefore, rather than working in a pointfree setting, we are working in an order-theoretical rephrasing of the classical point-set approach. With our approach, we obtain a representation of T_0 spaces that is entirely pointfree, and a category that generalizes that of T_0 spaces in the same way frames generalize sober ones. We call the pointfree structures that we introduce "Raney extensions". In this thesis, we prove new results in pointfree topology using Raney extensions. In particular, we see how various structures that have captured researchers' interest in pointfree topology recently are actually special cases of Raney extensions. This holds, for example, for the concept of a canonical extension of a frame. Primarily, therefore, we will use Raney extensions to prove new results regarding these structures.

La topologia senza punti è un approccio alla topologia che prende la nozione di insieme aperto come primitiva, invece che quella di punto. Esiste un'aggiunzione duale tra la categoria degli spazi topologici e quella di certi reticoli completi che soddisfano una legge di distributività. Questi sono detti frame, e vengono trattati come spazi topologici in virtù del fatto che per ogni spazio topologico la collezione ordinata dei suoi aperti è un frame. Uno dei funtori coinvolti nell'aggiunzione menzionata sopra assegna a ogni spazio topologico proprio il suo frame degli aperti. Gli spazi punti fissi di questa aggiunzione sono i frame spaziali da una parte e gli spazi sobri dall'altra. Tutti gli spazi Hausdorff sono sobri, e tutti gli spazi sobri sono T_0. Uno dei grandi vantaggi della topologia senza punti è che la categoria dei frame è algebrica, a differenza di quella degli spazi sobri. In questa categoria, riusciamo a dimostrare costruttivamente risultati che classicamente richiedono qualche principio di scelta, come il Teorema di Tychonoff o quello di Hofmann-Moslove (utile in teoria dei domini). Ecco perché il fatto che la categoria dei frame sia un'estensione, e non una perfetta rappresentazione, di quella degli spazi sobri è un vantaggio; ed ecco quindi perché in topologia senza punti si lavora in questa categoria, e non in quella più piccola dei frame spaziali. In questa tesi noi proponiamo di estendere l'aggiunzione duale al centro della topologia senza punti in modo da catturare non solo gli spazi sobri ma tutti gli spazi T_0. Un approccio simile era già stato delineato: la dualità di Raney stabilisce un'equivalenza duale di categorie tra la categoria degli spazi T_0 e quella delle cosiddette algebre di Raney. Ma le algebre di Raney non sono una generalizzazione degli spazi T_0, sono una loro perfetta rappresentazione. Quindi, questo approccio non è senza punti, ma è un modo di ri-esprimere con il linguaggio della teoria dell'ordine l'approccio classico. Con il nostro approccio otteniamo una rappresentazione degli spazi T_0 che sia del tutto senza punti, e una categoria che generalizza quella degli spazi T_0 allo stesso modo in cui i frame generalizzano quelli sobri. Chiamiamo le strutture senza punti che introduciamo "estensioni di Raney". In questa tesi dimostriamo nuovi risultati di topologia senza punti usando le estensioni di Raney. In particolare ci consente anche di vedere come diverse altre strutture che hanno catturato l'interesse dei ricercatori in topologia senza punti recentemente sono in realtà casi particolari di estensioni di Raney. Questo vale, per esempio, per il concetto di estensione canonica di un frame. Principalmente, quindi, useremo le estensioni di Raney per dimostrare risultati nuovi riguardanti queste strutture. ​