Una introduzione coomologica alla Teoria di Kummer

In questa tesi viene studiata la corrispondenza introdotta da Kummer tra estensioni di Galois abeliane di campi che contengono le radici dell'unità e opportuni sottogruppi del gruppo moltiplicativo del campo, dandone una dimostrazione che sfrutta numerosi strumenti di coomologia. Per arrivare a ciò vengono introdotte la norma e la traccia di un elemento appartenente ad un'estensione finita di campi, le loro proprietà e un risultato fondamentale che riguarda queste due nozioni: il Teorema 90 di Hilbert. Proprio quest'ultimo sarà poi generalizzato in termini del primo gruppo di coomologia. Successivamente viene fatta una panoramica sulle successioni esatte e sulle estensioni di Galois di grado infinito. Per concludere sono presentate due applicazioni della teoria sviluppata: un semplice esempio di estensione abeliana e un altro più avanzato che riguarda le curve ellittiche.