Curve Modulari come Spazi di Moduli di Curve Ellittiche

The objective of this thesis is to contruct the modular curves Y(\Gamma) and to draw their main characteristics as topological spaces and Riemann surfaces. In particular we present the cases Y(N), Y1(N), Y0(N) and their interpretation as moduli spaces of elliptic curves with level structure. The first chapters are dedicated to the costruction of the topological and analytic structure of Y(\Gamma). Later we study the regularization of Y(\Gamma), called X(\Gamma), and we give a formula to calculate its genus. We later introduce elliptic curves in their complex tori representation. In the last chapters we introduce the concept of fine moduli space and we show that Y(N) is a fine moduli space for N>=3, Y1(N) is a fine moduli space for N>=5 and Y0(N) can't be a fine moduli space.

L'obiettivo dell'elaborato è costruire le curve modulari Y(\Gamma) e delinearne le principali caratteristiche come spazi topologici e superficie di Riemann. In particolare vengono presentati i casi Y(N), Y1(N), Y0(N) e la loro interpretazione come spazi di moduli di curve ellittiche con struttura di livello. I primi capitoli sono dedicati alla costruzione della struttura topologica e analitica degli spazi Y(\Gamma). Successivamente viene studiata la regolarizzazione degli spazi Y(\Gamma), detta X(\Gamma), e viene data una formula per calcolarne il genere. Sono poi introdotte le curve ellittiche nella loro rappresentazione come tori complessi. Gli ultimi capitoli introducono il concetto di spazio di moduli "fine" e mostrano che Y(N) è spazio di moduli "fine" per N>=3, Y1(N) è spazio di moduli "fine" per N>=5 e Y0(N) non può mai essere spazio di moduli "fine".