Bounded Slope Condition: un esempio di metodo diretto

I più semplici esempi di problemi variazionali con dato al bordo sono risolvibili tramite l’equazione di Eulero-Lagrange, la quale permette di ricavare una formula esplicita della funzione minimizzante. Tuttavia, quando si affrontano problemi più generici, il metodo classico di Eulero rimanda a equazioni differenziali alle derivate parziali, che difficilmente sono risolvibili in modo esplicito. Ad esempio, utilizzando l'equazione di Eulero con determinati funzionali, ci si riconduce alle EDP di Laplace e di Poisson, che hanno soluzione esplicita solo in pochissimi casi. Per sopperire a queste criticità del metodo classico, si può fare uso dei metodi diretti, che dimostrano l’esistenza del minimo del funzionale dato deducendola direttamente dalle proprietà del funzionale stesso. In particolare, questa tesi introduce il metodo diretto della Bounded Slope Condition (BSC), il cui punto chiave è quello di richiedere che la variazione del dato al bordo sia controllata da due funzioni affini.