This thesis is about an integral inequality, named from Hardy, Littlewood and Sobolev. At first we prove a weak version, i.e. without the optimal constant, in the general case. Then we turn our attention to the particular case in which both the considered functions lie in the same Lp space. In this case we show the invariance of the inequality under the group of conformal transformations, and we discuss the role of the so-called simmetric rearrangements on the functions. Hence we exploit these simmetries to construct a sequence of functions that strongly converges to an optimal function, namely a function for which equality is attained. Using this function we can eventually compute the optimal constant.
La tesi tratta una disuguaglianza integrale, detta disuguaglianza di Hardy-Littlewood-Sobolev. Si dimostra dapprima la versione debole, ovvero senza costante ottimale, nel caso generale. Successivamente si passa a considerare il caso particolare in cui le due funzioni nel problema appartengono allo stesso spazio Lp. In questo caso si mostra l'invarianza della disuguaglianza rispetto al gruppo delle trasformazioni conformi, e si discute l'effetto dei cosiddetti riarrangiamenti simmetrici sulle funzioni coinvolte. Grazie a tali simmetrie si costruisce una sequenza di funzioni convergente ad una funzione ottimale, cioè tale per cui vale l'uguaglianza. Utilizzando questa funzione ottimale è quindi possibile calcolare esplicitamente la costante ottimale.
Simmetrie in competizione: la disuguaglianza di Hardy-Littlewood-Sobolev
SILVESTRI, VERA
2023/2024
Abstract
This thesis is about an integral inequality, named from Hardy, Littlewood and Sobolev. At first we prove a weak version, i.e. without the optimal constant, in the general case. Then we turn our attention to the particular case in which both the considered functions lie in the same Lp space. In this case we show the invariance of the inequality under the group of conformal transformations, and we discuss the role of the so-called simmetric rearrangements on the functions. Hence we exploit these simmetries to construct a sequence of functions that strongly converges to an optimal function, namely a function for which equality is attained. Using this function we can eventually compute the optimal constant.File | Dimensione | Formato | |
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https://hdl.handle.net/20.500.12608/71004