Lagrangian Formulation of Branched Optimal Transport Theory and Generalizations

This thesis presents a general overview of branched optimal transport theory, starting with the reasons for the need of such a theory and the main differences with classical Monge-Kantorovich theory. This theory formalizes the problem of optimizing transport from an initial to a final configuration, within systems in which grouped movement is more convenient than individual movement (in terms of a suitable energy functional), as is often the case in nature in fluid transport channels (rivers, tree roots, leaf nerves, corals, cardiovascular and pulmonary systems, and many others). Initially, Gilbert's discrete graph model is described, which generalizes concave-flow minimum problems in which the initial and final distributions are atomic probability measures. We deal with the problem of the existence of solutions for such a problem and the structural properties satisfied by minimizers. The third chapter describes the first and original extension of Gilbert's model to the continuous case, with an approach that is not quite natural, which indeed proposes a relaxation of the more intuitive formulation. In this model, called Lagrangian, the transport structures are called traffic plans, probability measures defined on the space of 1-Lipschitz curves with finite length. Following the original formulation, the classical Irrigation problem is discussed: issues related to the existence of minimizers and, in the fourth chapter, necessary optimality conditions. The fifth chapter is devoted to a research part in which, in addition to proposing a more heuristic and natural extension of Gilbert's problem to the Lagrangian case, a possible generalization to a large class of transport costs, via the H-mass functional, is studied. In addition to the attempt to generalize the theory seen in Chapter 3, an existence result for the generalized Irrigation problem is also proved. In the appendix we present a well known fluid-dynamic (Benamou-Brenier) approach to the theory, which is equivalently reformulated in terms of weak solutions of the continuity equation with Neumann boundary conditions.

La tesi presenta una panoramica generale sulla teoria del trasporto ottimo ramificato, partendo dalle motivazioni che spingono alla necessità di tale teoria e alle principali differenze con la teoria classica di Monge-Kantorovich. Tale teoria formalizza il problema di ottimizzare il trasporto da una configurazione iniziale ad una finale, all'interno di sistemi in cui lo spostamento raggruppato risulta più conveniente di quello individuale (in termini di un opportuno funzionale energia), come spesso avviene in natura nei canali di trasporto di fluidi (fiumi, radici degli alberi, nervature delle foglie, coralli, sistema cardiovascolare, polmonare e molti altri). Inizialmente viene descritto il modello discreto di Gilbert su grafo, che generalizza i problemi di minimo a flusso concavo, in cui le distribuzioni iniziali e finali sono misure di probabilità atomiche. Si discute il problema dell'esistenza di soluzioni per tale problema e le proprietà strutturali soddisfatte da tali minimi. Il terzo capitolo descrive la prima estensione (storica) del modello di Gilbert al caso continuo, con un approccio non del tutto naturale, proponendo infatti un rilassamento della formulazione più intuitiva. In questo modello, detto Lagrangiano, le strutture di trasporto sono dette traffic plans, misure di probabilità definite sullo spazio di curve 1-Lipschitz con lunghezza finita. Seguendo la formulazione originale si discute il problema di Irrigazione classico: questioni legate all'esistenza di minimi e, nel quarto capitolo, condizioni necessarie di ottimalità. Il quinto capitolo è dedicato a una parte di ricerca in cui, oltre a proporre un'estensione più euristica e naturale del problema di Gilbert al caso Lagrangiano, si studia una possibile generalizzazione ad un'ampia classe di costi di trasporto, tramite il funzionale H-massa. Oltre al tentativo di generalizzare la teoria vista nel capitolo 3, si dimostra anche un risultato di esistenza per il problema di Irrigazione generalizzato. In appendice è presentato il noto approccio fluido-dinamico (alla Benamou-Brenier) della teoria, che viene riformulata in modo equivalente in termini di soluzioni deboli dell'equazione di continuità con condizioni al bordo di Neumann.