Modello Black-Scholes

The Black-Scholes Model is one of the most influential tools in finance for option pricing. This thesis analyzes the theoretical foundations of the model, exploring its basic assumptions, the mathematical derivation of the Black-Scholes equation, and its main applications in the context of financial markets. After reviewing the existing literature, the thesis focuses on a brief introduction to the main concepts of probability followed by the explanation of the geometric Brownian motion and the assumption that prices follow this motion. Subsequently, an introduction to interest rates and present value is provided, followed by a critical analysis of the underlying assumptions of the model, such as constant volatility and the absence of arbitrage, along with a demonstration of the arbitrage theorem. Finally, the thesis presents a simple derivation of the Black-Scholes equation and its use for determining the price of call and put options along with the relevant properties. The results prove that the Black-Scholes Model, despite its limitations, remains a landmark of quantitative finance, from which more advanced models can be developed \\ The thesis ends with a few observations on what could happen when the market price of the option deviates from the one given by the Black-Scholes Formula and the different scenarios caused by changes in interest rates.

Il Modello Black-Scholes rappresenta uno degli strumenti più influenti nella finanza per la valutazione delle opzioni. Questa tesi analizza i fondamenti teorici del modello, esplorando le ipotesi di base, la derivazione matematica dell'equazione di Black-Scholes e le sue principali applicazioni nel contesto dei mercati finanziari. Dopo una revisione della letteratura esistente, la tesi si concentra su una breve introduzione ai principali concetti di probabilità per poi passare alla spiegazione del moto Browniano geometrico e all'assunzione che i prezzi seguano questo moto. Successivamente è stata fatta un'introduzione ai tassi di interesse e al valore attuale per poi condurre un'analisi critica delle ipotesi sottostanti al modello, quali la costanza della volatilità e l'assenza di arbitraggio, con annessa dimostrazione del teorema di arbitraggio. Infine, la tesi analizza una derivazione semplice dell'equazione di Black-Scholes per la determinazione del prezzo delle opzioni call e delle opzioni put insieme alle sue proprietà. I risultati ottenuti dimostrano come il modello di Black-Scholes, pur con i suoi limiti, continui ad essere un punto di riferimento fondamentale nella finanza quantitativa, offrendo una base solida per lo sviluppo di modello più avanzati. La tesi si conclude con alcuni commenti riguardanti ciò che accade quando il prezzo di mercato dell'opzione differisce da quello dato dalla Formula di Black-Scholes e ciò che accade quando il tasso di interesse cambia.