Equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman e Problema di Portafoglio alla Merton

This thesis focuses on the analysis of Merton’s portfolio problem through the use of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation in a stochastic calculus context. Starting from a mo- del of financial asset returns characterized by uncertainties and stochastic dynamics, the HJB equation is derived for an investor seeking to maximize their expected utility in the long term. The thesis delves into the fundamentals of stochastic calculus, the boundary conditions and as- sumptions necessary for solving the equation, examining the role of the utility function and the volatility of returns. Through both analytical and numerical approaches, optimal solutions for the allocation stra- tegy between risky and risk-free assets are presented. The results show how investor preferences and market characteristics influence portfolio choices, highlighting the importance of stochastic calculus in optimizing financial decisions.

Questa tesi si concentra sull’analisi del problema di portafoglio di Merton attraverso l’uso dell’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) in un contesto di calcolo stocastico. Partendo da un modello di rendimento delle attività finanziarie caratterizzato da incertezze e dinamiche stocastiche, si deriva l’equazione HJB per un investitore che cerca di massimizzare la sua utilità attesa nel lungo termine. La tesi approfondisce le basi del calcolo stocastico, le condizioni al contorno e le ipotesi necessarie per la soluzione dell’equazione, esaminando il ruolo della funzione di utilità e della volatilità dei rendimenti. Attraverso un approccio analitico e numerico, si presentano le soluzioni ottimali per la stra- tegia di allocazione tra asset rischiosi e privi di rischio. I risultati mostrano come le preferenze dell’investitore e le caratteristiche del mercato influenzino le scelte di portafoglio, evidenziando l’importanza del calcolo stocastico nell’ottimizzazione delle decisioni finanziarie.