Carte di controllo basate sul rapporto di log-verosimiglianza generalizzato: applicazione alla distribuzione binomiale, Poisson e multinomiale

Le carte di controllo sono strumenti usati nell’ambito della statistica per valutare la qualità di un processo o di un prodotto. Gli schemi di controllo possono distinguersi a seconda che siano carte insensibili a piccoli cambiamenti oppure carte volte ad evidenziare delle alterazioni del processo. Tra le carte adatte a segnalare i cambiamenti del processo si è deciso di studiare lo schema di controllo Generalized Likelihood Ratio (GLR). Lo schema di controllo GLR è una carta che studia il log-rapporto di verosimiglianza generalizzato ed è una procedura generale per problemi di test compositi. La carta di controllo viene usata nella “fase II”, schematizzazione della situazione di riferimento, in cui si rileva il processo confrontando la statistica campionaria per ciascun campione successivo. Il confronto delle statistiche può essere effettuato perché il processo si trova già in uno stato di controllo. Lo stato di controllo della distribuzione è noto; di conseguenza per la carta di controllo GLR vengono definiti un sistema di verifica di ipotesi e una statistica di controllo generali a seconda che i dati siano discreti o continui. In particolare, si è deciso di trattare i GLR per dati discreti, in quanto meno di usuale applicazione, e perciò si è scelto di dimostrare l’ottenimento delle carte di controllo per le distribuzioni binomiale, Poisson e multinomiale. Il sistema di verifica di ipotesi è importante che venga definito perché permette di verificare ad un determinato istante di tempo quando la carta di controllo fuoriesce dallo stato di controllo e quindi riesce a segnalare un allarme. La fuoriuscita da una situazione di controllo viene verificata con dei dati binomiali nell’applicazione della carta di controllo GLR a dei dati reali. Nel caso di studio applicato è stato importante trovare un allarme perché l’obiettivo delle carte di controllo è di segnalare una situazione fuori controllo se vi sono pezzi difettosi e di individuare il primo istante di tempo possibile in cui vi sia stata un’alterazione del processo. Uno schema di controllo insensibile a piccoli cambiamenti non riusciva infatti a segnalare una situazione di instabilità del processo e la carta GLR, almeno nel caso considerato, è stata utile nel trovare il momento del malfunzionamento della produzione.