Pricing di opzioni in mercati incompleti: la misura martingala uplifted

Due problemi centrali nella Finanza sono il prezzaggio e la copertura di derivati in un mercato. Nel caso in cui il mercato sia completo, per il secondo teorema fondamentale dell'asset pricing, esiste un'unica misura martingala equivalente Q e dunque sono unici anche i possibili prezzi dei vari titoli e derivati. Nel caso di mercati incompleti esistono, invece, diverse misure neutrali al rischio e non si ha quindi unicità dei prezzi. L'obiettivo di questa tesi è riuscire ad identificare una particolare misura martingala equivalente in un mercato privo di opportunità di arbitraggio ma incompleto, che chiameremo mercato originale, così da poter prezzare in modo unico dei derivati in esso. A questo fine vogliamo definire, a partire dal mercato originale, un mercato fittizio privo di opportunità di arbitraggio e completo, ottenuto attraverso una riduzione di filtrazione, e studiarne l'unica MME. Useremo poi questa MME per identificare un particolare elemento nell'insieme di MME nel mercato originale, attraverso il concetto di uplift di una misura di probabilità.