Gruppi finiti con grafi di Cayley geodetici

This thesis investigates when a Cayley graph, associated with a finite group and a symmetric generating set, is geodetic—that is, when there exists a unique shortest path between any pair of vertices. A conjecture by Federici is examined, stating that only complete graphs and odd-order cycles are geodetic. The thesis presents supporting results for this conjecture in the cases of abelian groups, dihedral groups, groups with a center of even order, and additional cases verified computationally using GAP software. The focus is primarily on algebraic and combinatorial aspects.

La tesi analizza quando un grafo di Cayley, associato a un gruppo finito e a un insieme simmetrico di generatori, sia geodetico, ovvero presenti un unico cammino minimo tra ogni coppia di vertici. Viene esaminata una congettura di Federici, secondo cui solo i grafi completi e i cicli di ordine dispari sono geodetici. Si presentano risultati a favore della congettura per gruppi abeliani, diedrali, gruppi con centro di ordine pari, e altri casi verificati computazionalmente tramite il software GAP. L’attenzione è rivolta soprattutto agli aspetti algebrici e combinatori.