Interpretazione geometrica dell'equazione di Eulero per fluidi ideali

This thesis aims to study, from a geometric perspective, the laws governing the inertial motion of an ideal fluid, with the ultimate goal of deriving the Euler equation of fluid dynamics as the equation of geodesics on the space of fluid flow functions. These functions will be obtained from the stationarity condition of the kinetic energy functional, in accordance with the principle of least action in classical mechanics. The approach introduced by Vladimir Arnold is adopted. The work begins by recalling some fundamental concepts of fluid dynamics, and the fluid is modeled as a continuous medium using appropriate approximations. In this framework, the flow of a perfect, incompressible fluid is represented by a volume-preserving diffeomorphism. Consequently, SDiff(M) is introduced: the group of smooth, volume-preserving diffeomorphisms on a three-dimensional Riemannian manifold M. It is shown that SDiff(M) possesses a natural structure as an infinite-dimensional Lie group, and that its tangent space at the identity can be identified with the space of smooth, divergence-free vector fields on M. An L^2 metric is then introduced on SDiff(M), with which the length functional is constructed. At this point, one can observe the analogy between geodesics on the manifold—defined as curves that minimize the length functional—and the solutions of the dynamical system, which, similarly, minimize the action functional. Finally, through the development of the necessary computations, the expression of the Euler equation is derived, yielding a geometric reinterpretation of fluid motion as a geodesic trajectory on the space of diffeomorphisms.

Il presente lavoro di tesi si propone di studiare, in termini geometrici, le leggi che governano il moto inerziale di un fluido ideale, con l'obiettivo finale di ricavare l'equazione di Eulero della fluidodinamica come equazione delle geodetiche sullo spazio delle funzioni di flusso del fluido. Queste ultime saranno ottenute a partire dalla condizione di stazionarietà del funzionale dell'energia cinetica, in accordo con il principio di minima azione della meccanica classica. Si adotta l'approccio introdotto da Vladimir Arnold. Inizialmente vengono richiamate alcune nozioni fondamentali di fluidodinamica e si modellizza il fluido secondo un modello continuo, introducendo opportune approssimazioni. In questo contesto, il flusso di un fluido perfetto ed incomprimibile viene rappresentato mediante un diffeomorfismo che preserva l'elemento volume. Si introduce quindi SDiff(M), il gruppo dei diffeomorfismi lisci che preservano il volume su una varietà Riemanniana tridimensionale M. Si dimostra che SDiff(M) possiede una struttura naturale di gruppo di Lie di dimensione infinita e che il relativo spazio tangente all'identità può essere identificato con l'insieme dei campi vettoriali lisci a divergenza nulla su M. Si introduce quindi una metrica L^2 su SDiff(M), in base alla quale si costruisce il funzionale lunghezza. A questo punto sarà possibile osservare l'analogia tra le geodetiche della varietà, definite come le curve che minimizzano il funzionale lunghezza, e le soluzioni del sistema dinamico, che, in maniera analoga, minimizzano il funzionale d'azione. Infine, sviluppando i calcoli, si ricaverà l'espressione dell'equazione di Eulero, ottenendo così una reinterpretazione geometrica del moto del fluido come traiettoria geodetica sullo spazio dei diffeomorfismi.