Stabilità e instabilità degli equilibri in meccanica lagrangiana (l’inverso del teorema di Lagrange-Dirichlet)

Nel contesto della meccanica lagrangiana, il teorema di Lagrange-Dirichlet afferma che ogni punto di minimo stretto dell’energia potenziale V(q) è configurazione di equilibrio stabile. Nel corso del tempo, molti matematici si sono interrogati sull’eventuale validità dell’implicazione inversa e su quali ipotesi possano renderla verificabile. Il presente elaborato intende approfondire tale problema, passando in rassegna i contributi più rilevanti emersi in letteratura e, in particolare, analizzando il lavoro di Laloy-Pfeiffer, pubblicato nel 1982. Nella seconda parte della tesi, infatti, viene studiata nel dettaglio l’instabilità per un sistema meccanico con due gradi di libertà la cui energia potenziale ha un minimo non stretto nell’origine. Si dimostra che, sotto opportune condizioni di regolarità, la configurazione di equilibrio corrispondente è instabile se l’energia potenziale ha un minimo lungo una curva passante per l’origine, ottenendo, come caso particolare, l’instabilità se V(q) è analitica e ha un minimo non stretto nell’origine.