Gruppi finiti con pochi sottogruppi

La tesi si concentra sul problema della determinazione dei possibili gruppi noto il numero dei sottogruppi. Seguendo un lavoro di Michael C. Slattery, cerchiamo all’inizio di fornire un teorema generale che cerchi di determinare in modo abbastanza veloce i possibili gruppi. L’idea è quella di partire da risultati facilmente dimostrabili che da certe condizioni sui sottogruppi riescano a determinare gli eventuali gruppi. Grazie a questi esempi abbiamo quindi una base da cui poter partire per ipotizzare una teoria generale. Cercheremo quindi di presentare affermazioni che siano vere almeno nei casi considerati, accorgendoci però che ci sono alcune tipologie di gruppi che non permettono la veridicità totale. Dopo alcuni tentativi ci accorgiamo che dobbiamo dare a G una struttura generale, e nel fare ciò definiremo il concetto di similarità tra due gruppi, che è una relazione di equivalenza. Grazie all’introduzione di questa nuova nozione, siamo quindi in grado di fornire un teorema generale. Ci accorgiamo però che la lista finita di classi di similarità presentata nel teorema talvolta richiede calcoli laboriosi per determinare tutti i possibili gruppi. L’intento della seconda parte è quindi quello di mostrare un esempio di calcolo esplicito di tali classi. Consideriamo il caso più semplice. Presentiamo quindi un elenco di tutte le tipologie di gruppi, e per ciascuna di esse eseguiamo un calcolo esplicito per andare a determinare le classi di similarità, andando ad escludere i casi in cui le varie ipotesi non vengono rispettate. Ci concentriamo dapprima sui gruppi abeliani, e poi sui non abeliani. Nel secondo caso arriveremo alla conclusione che l’ordine del gruppo può essere diviso da al massimo due primi. Consideriamo quindi dapprima il caso in cui l'ordine di G è prodotto di potenze di due primi, con G non abeliano. Studieremo in modo ragionevole i casi di normalità e ciclicità dei Sylow, combinandoli in maniera opportuna. Successivamente ci concentreremo sui p- gruppi non abeliani. Infine concludiamo fornendo una lista completa di tutte le classi trovate nel corso dell’analisi, rappresentata da una tabella che associa al numero n di sottogruppi le classi di similarità con n sottogruppi, che sono una lista finita e ne esiste almeno una per ogni n. Iniziamo ricordando alcuni concetti fondamentali per lo studio iniziale e per il calcolo successivo, e alcune nozioni più particolari che ci permetteranno di determinare certi gruppi.