La mappa di scattering e la diffusione di Arnol'd nei sistemi hamiltoniani

The aim of this thesis is to analyze the phenomenon of Arnold scattering, specifically for hyperbolic Hamiltonian systems. This phenomenon consists of trajectories that traverse a large portion of phase space. To study it, a so-called scattering map is used. A result will be presented for this map that will allow us to conclude that scattering exists for these hyperbolic systems. Specifically, the case will be considered where the Hamiltonian function consists of a decoupled pendulum and rotor, to which a trigonometric perturbation is added that will make the system coupled and cause the phenomenon to occur. An explicit example of calculating this map will also be presented, with particular attention to the existence of critical points for a function called the Melnikov potential.

Lo scopo della tesi è analizzare il fenomeno della diffusione di Arnol’d, nello specifico per sistemi hamiltoniani che presentano un carattere iperbolico. Questo fenomeno consiste in traiettorie che attraversano una grande porzione dello spazio delle fasi, e per studiarlo viene utilizzata la cosiddetta mappa di scattering, riguardo alla quale verrà enunciato un risultato che permetterà di concludere l’esistenza della diffusione per questi sistemi iperbolici. In particolare, verrà trattato il caso in cui la funzione hamiltoniana consiste in un pendolo e un rotore disaccoppiati, a cui viene aggiunta una perturbazione trigonometrica che renderà il sistema accoppiato e che causerà il verificarsi del fenomeno. Verrà inoltre presentato un esempio esplicito di calcolo di tale mappa con attenzione particolare all’esistenza di punti critici per una funzione detta potenziale di Melnikov.