Dinamica di Lax in spettri quantistici

In this thesis, the integrability of the dynamics of Hamiltonian systems that can be formulated in terms of Lax pairs is analyzed, with applications to the study of the deformation of the quantum spectrum of a perturbed Hamiltonian. After a review of the Hamiltonian formalism and the Liouville–Arnold theorem, the concept of isospectral evolution and the mutual involution condition of the spectral invariants are introduced through the r-matrix formalism. The deformation of a quantum spectrum is then studied by describing the evolution of the eigenvalues and eigenstates of the Hamiltonian operator H=H_0+tV as a function of a perturbative parameter t. Two equivalent approaches are presented—the Pechukas–Yukawa and the Nakamura–Lakshmanan formalisms—which transform the eigenvalue problem into a generalized (classical) Hamiltonian system known as the spin–Calogero–Moser model. Finally, it is shown how, for this abstract system, integrability in the Liouville sense can be formally demonstrated through a reduction of the phase space to a submanifold where the existence of an r-matrix guarantees the involution of the spectral invariants.

Nella presente tesi si analizza l’integrabilità della dinamica di sistemi hamiltoniani che possono essere formulati in termini di coppie di Lax, applicati allo studio della deformazione dello spettro quantistico di un hamiltoniano perturbato. Dopo una rassegna del formalismo hamiltoniano e del teorema di Liouville-Arnold, viene introdotto il concetto di evoluzione isospettrale e la condizione di involuzione mutua degli invarianti spettrali attraverso il formalismo della matrice r. Si studia quindi la deformazione di uno spettro quantistico, descrivendo l’evoluzione degli autovalori e degli autostati dell’operatore hamiltoniano H=H_0+tV in funzione di un parametro perturbativo t. Vengono presentati due approcci equivalenti, quello di Pechukas-Yukawa e quello di Nakamura-Lakshmanan che trasformano il problema agli autovalori in un sistema hamiltoniano (classico) generalizzato, detto spin-Calogero-Moser. Infine, si mostra come, per questo sistema astratto, l’integrabilità nel senso di Liouville possa essere formalmente dimostrata attraverso una riduzione dello spazio delle fasi ad una sottovarietà in cui l’esistenza di una matrice r garantisce l’involuzione degli invarianti spettrali.