Metodo delle equazioni differenziali per la soluzione di integrali multiloop

Feynman integrals play a central role in quantum field theory, as they appear in perturbative calculations of quantities such as correlation functions of local operators and scattering amplitudes. In this context, it is necessary to evaluate integrals over D-dimensional spacetime involving products of Feynman propagators. The ability to compute these integrals accurately is essential for connecting theoretical predictions with experimental observations. A very effective approach consists in representing Feynman integrals through systems of linear partial differential equations. This technique, known as the Differential Equations Method, treats the integrals as functions of external parameters, such as kinematic invariants and masses, and allows one to derive the differential equations that govern their behavior. These equations can be exploited both to evaluate the integrals and to study their analytic properties. In this thesis, after introducing the physical context and the fundamental techniques for the calculation of the simplest Feynman integrals, the Differential Equations Method is applied to multiloop diagrams. In particular, the focus is on the determination of the master integrals relevant for heavy-to-light form factors, which are key ingredients in the phenomenology of the decays b → u ℓ ν and b → s γ.

Gli integrali di Feynman svolgono un ruolo centrale nella teoria quantistica dei campi, comparendo nei calcoli perturbativi di quantità quali le funzioni di correlazione di operatori locali e le ampiezze di scattering. In questo contesto, è necessario valutare integrali sullo spazio-tempo D-dimensionale che coinvolgono il prodotto di propagatori di Feynman. La capacità di calcolarli con precisione è fondamentale per collegare le previsioni teoriche alle osservazioni sperimentali. Un approccio molto efficace consiste nel rappresentare gli integrali di Feynman tramite sistemi di equazioni differenziali lineari alle derivate parziali. Questa tecnica, nota come Metodo delle Equazioni Differenziali, considera gli integrali come funzioni dei parametri esterni (come gli invarianti cinematici e le masse) e permette di ricavarne le equazioni differenziali che ne governano il comportamento. Tali equazioni possono essere sfruttate sia per valutare gli integrali sia per studiarne le proprietà analitiche. In questa tesi, dopo aver illustrato il contesto fisico e le tecniche fondamentali per il calcolo dei più semplici integrali di Feynman, lo studente applicherà il metodo delle equazioni differenziali a diagrammi multiloop. In particolare, l’attenzione sarà dedicata alla determinazione dei master integrals rilevanti per i fattori di forma “heavy-to-light”, elementi chiave per la fenomenologia dei decadimenti b -> u l nu e b -> s gamma.