Approccio di uniformizzazione alla teoria di Seiberg-Witten

Seiberg-Witten theory provides an exact description of the low-energy effective action of four-dimensional N = 2 supersymmetric Yang–Mills theory. In this thesis we present an approach to the Seiberg-Witten solution based on uniformization theory. After introducing the path integral formulation and the basic supersymmetric structure of the model, we review the role of the prepotential, electric-magnetic duality, monodromy and the moduli space of quantum vacua. We then recall the necessary notions on Riemann surfaces, Fuchsian groups and hyperbolic metrics, with particular attention to the uniformizing map and to the associated Schwarzian differential equation. In the case relevant to pure SU(2) Seiberg-Witten theory, the moduli space is described as a three-punctured Riemann sphere. This allows one to relate the periods aD and a to solutions of the uniformizing equation and to derive recursion relations for the instanton coefficients of the prepotential. The fundamental domain is then recovered through reflection symmetries of quantum vacua. Finally, we discuss the relation between the modular parameters τ and τˆ = aD/a, the Seiberg-Witten curve of marginal stability, and some inequalities for the Poincaré metric in the region bounded by this curve.

Nella teoria di Seiberg-Witten si ottiene una descrizione esatta dell’azione efficace a bassa energia della teoria di Yang–Mills supersimmetrica N = 2 in quattro dimensioni. In questa tesi presentiamo un approccio alla soluzione di Seiberg-Witten basato sulla teoria dell’uniformizzazione. Dopo aver introdotto la formulazione tramite integrale sui cammini e la struttura supersimmetrica essenziale del modello, richiamiamo il ruolo del prepotenziale, della dualità elettro-magnetica, della monodromia e dello spazio dei moduli dei vuoti quantistici. Vengono poi introdotte le nozioni necessarie sulle superfici di Riemann, sui gruppi fuchsiani e sulle metriche iperboliche, con particolare attenzione alla mappa uniformizzante e all’equazione differenziale schwarziana associata. Nel caso rilevante per la teoria di Seiberg-Witten pura con gruppo di gauge SU(2), lo spazio dei moduli è descritto come una sfera di Riemann con tre punture. Questo permette di collegare i periodi aD e a alle soluzioni dell’equazione di uniformizzazione e di derivare relazioni di ricorrenza per i coefficienti istantonici del prepotenziale. Il dominio fondamentale viene poi ricostruito tramite simmetrie di riflessione dei vuoti quantistici. Infine, discutiamo la relazione tra i parametri modulari τ e τˆ = aD/a, la curva di stabilità marginale di Seiberg-Witten e alcune disuguaglianze per la metrica di Poincaré nella regione delimitata da tale curva.