Meccanica quantistica dei modelli a matrici

Matrix models provide a minimal yet powerful framework to study quantum gauge theories in a reduced, zero-dimensional setting. In this thesis, we analyze Hermitian matrix models with an emphasis on exact solvability and large N techniques. After introducing the basic structure of matrix integrals and their unitary invariance, we develop the large N expansion via the saddle-point method, deriving the eigenvalue distribution and leading free energy. We then show how perturbative expansions organize into a topological expansion of Feynman diagrams, establishing a correspondence with discretized surfaces. Exact results are obtained using the method of orthogonal polynomials.

I modelli di matrice forniscono un quadro minimale ma potente per studiare le teorie di gauge quantistiche in un contesto ridotto a zero dimensioni. In questa tesi, analizziamo i modelli matriciali hermitiani con particolare attenzione alla risolvibilità esatta e alle tecniche per grandi N. Dopo aver introdotto la struttura di base degli integrali di matrice e la loro invarianza sotto trasformazioni unitarie, sviluppiamo lo sviluppo per grandi N tramite il metodo del punto di sella, derivando la distribuzione degli autovalori e l'energia libera. Mostriamo quindi come gli sviluppi perturbativi si organizzino in uno sviluppo topologico dei diagrammi di Feynman, stabilendo una corrispondenza con le superfici discretizzate. Risultati esatti vengono ottenuti utilizzando il metodo dei polinomi ortogonali.