Ising 1D a Lungo Raggio e organizzazione 3D della Cromatina: Uno Studio Monte Carlo

The one-dimensional (1D) Ising model with nearest-neighbor interactions is a paradigmatic example of a system that does not undergo a phase transition at finite temperature. However, when ferromagnetic interactions decay as a power law of the distance, J(r)∼r^(−α), the scenario changes drastically: depending on the value of the exponent α, a finite-temperature phase transition can emerge, making this model a rich playground for studying the interplay between interaction range and critical behavior. The aim of this thesis is to investigate the equilibrium properties of the long-range 1D Ising model through Monte Carlo simulations, estimating the critical temperature and comparing the thermodynamic behavior and finite-size properties in two representative regimes: α=3/2 and α=1. The motivation is rooted in chromatin biology: the contact probability between chromatin segments decays as a power law with genomic distance, suggesting an analogy with the long-range Ising model and its use as a minimal statistical mechanics framework to understand the spatial organization of chromatin. For both values of α considered, signals compatible with a finite-temperature transition are observed. Critical temperatures are estimated via finite-size scaling of the peaks of specific heat and magnetic susceptibility, and compared using the Metropolis and Wolff algorithms, which provide overall consistent results. Furthermore, for α=1, Kac normalization allows a finite thermodynamic limit to be defined despite the logarithmic divergence of the interaction.

Il modello di Ising unidimensionale (1D) con interazioni ai primi vicini è un esempio paradigmatico di sistema che non subisce una transizione di fase a temperatura finita. Tuttavia, quando le interazioni ferromagnetiche decadono come una legge di potenza della distanza, J(r)∼r^(−α), lo scenario cambia drasticamente: a seconda del valore dell’esponente α, può emergere una transizione di fase a temperatura finita, rendendo questo modello un banco di prova ideale per studiare il legame tra il raggio delle interazioni e il comportamento critico. Scopo di questa tesi è di studiare le proprietà di equilibrio del modello di Ising 1D a lungo raggio tramite simulazioni Monte Carlo, stimando la temperatura critica e confrontando il comportamento termodinamico e le proprietà finite-size in due regimi rappresentativi: α=3/2 e α=1. La motivazione è radicata nella biologia della cromatina: la probabilità di contatto tra segmenti di cromatina decade come una legge di potenza con la distanza genomica, suggerendo un’analogia con il modello di Ising a lungo raggio e il suo utilizzo come framework minimale di meccanica statistica per comprendere l’organizzazione spaziale della cromatina. Per entrambi i valori di α considerati si osservano segnali compatibili con una transizione a temperatura finita. Le temperature critiche vengono stimate mediante finite-size scaling dei massimi di calore specifico e suscettività magnetica e confrontate utilizzando gli algoritmi di Metropolis e Wolff, che forniscono risultati complessivamente compatibili. Inoltre per α=1 la normalizzazione di Kac consente di definire un limite termodinamico finito nonostante la divergenza logaritmica dell’interazione.