Funzioni di Green e teoria delle perturbazioni nella risoluzione dell’equazione di Schrödinger

This thesis analyzes the role of Green's functions in solving the Schrödinger equation, with particular emphasis on perturbation theory and scattering problems. Following an introduction to the mathematical and physical significance of Green's functions, the discussion covers time-dependent formulations—linked to the quantum propagator—and energy-dependent formulations, interpreted as resolvent operators of the Hamiltonian subject to appropriate boundary conditions. The second part focuses on applying this formalism to cases where the system's Hamiltonian consists of a free Hamiltonian plus a sufficiently small potential treated as a perturbation. In this context, the Lippmann-Schwinger equation and the Born series are derived, highlighting their physical significance, limits of validity, and connection to perturbation theory. The aim is to demonstrate how Green's functions provide a unified framework for addressing quantum systems that are not exactly solvable, using systematic approximations.

La tesi analizza il ruolo delle funzioni di Green nella risoluzione dell’equazione di Schrödinger, con particolare attenzione alla teoria delle perturbazioni e ai problemi di scattering. Dopo un’introduzione al significato matematico e fisico delle funzioni di Green, vengono discusse le formulazioni dipendenti dal tempo, in relazione al propagatore quantistico, e quelle dipendenti dall’energia, interpretate come operatori risolventi dell’hamiltoniana con opportune condizioni al contorno. La seconda parte è dedicata all’applicazione di questo formalismo al caso in cui l’hamiltoniana del sistema sia data dalla somma di un’hamiltoniana libera e di un potenziale sufficientemente piccolo, trattato come perturbazione. In tale contesto vengono derivate l’equazione di Lippmann-Schwinger e la serie di Born, evidenziandone il significato fisico, i limiti di validità e il legame con la teoria delle perturbazioni. L’obiettivo è mostrare come le funzioni di Green offrano un quadro unitario per trattare sistemi quantistici non esattamente risolubili tramite approssimazioni sistematiche.