Sulla stabilità dei punti di Lagrange nel problema dei tre corpi ristretto

This thesis falls within the framework of celestial mechanics and the study of dynamical systems, focusing on the Circular Restricted Three-Body Problem (CR3BP). This model describes the motion of a particle of negligible mass subject to the gravitational attraction of two massive primary bodies, which revolve in circular orbits around their common center of mass. In this context, five equilibrium configurations emerge in the rotating reference frame, known as Lagrange points.Since the CR3BP is a conservative system that admits the Jacobi first integral, mathematical theory precludes the existence of asymptotically stable equilibrium points. Consequently, this investigation focuses on spectral (or linear) stability, which is evaluated by analyzing the eigenvalue spectrum of the Jacobian matrix of the linearized system in the vicinity of the equilibria. This introduces the distinction between hyperbolic points (unstable, characterized by saddle dynamics) and elliptic points (spectrally stable, characterized by purely oscillatory motions).The main objective of the thesis is the application of this formalism to the triangular libration points, L4 and L5. It is analytically demonstrated how the topological nature of these equilibria depends strictly on the mass ratio of the two primary bodies. Finally, through the study of the associated characteristic polynomial, the renowned Routh's stability limit is derived, representing the critical threshold value that marks the phase transition between the elliptic and the hyperbolic dynamical regimes.

Il presente elaborato si inserisce nell'ambito della meccanica celeste e dello studio dei sistemi dinamici, focalizzandosi sul Problema Circolare Ristretto dei Tre Corpi (CR3BP). Tale modello descrive il moto di un punto materiale di massa trascurabile soggetto all'attrazione gravitazionale di due corpi primari massicci, i quali evolvono su orbite circolari attorno al comune centro di massa. In questo contesto emergono cinque configurazioni di equilibrio nel sistema di riferimento rotante, note come punti di Lagrange.Poiché il CR3BP è un sistema di natura conservativa che ammette l'integrale primo di Jacobi, la teoria matematica esclude l'esistenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili. Di conseguenza, l'indagine si concentra sulla stabilità spettrale (o lineare), valutata analizzando lo spettro degli autovalori della matrice Jacobiana del sistema linearizzato in prossimità degli equilibri. Viene così introdotta la distinzione tra punti iperbolici (instabili, caratterizzati da dinamiche di sella) e punti ellittici (spettralmente stabili, caratterizzati da moti puramente oscillatori).L'obiettivo principale della tesi è l'applicazione di questo formalismo ai punti di librazione triangolari L4 e L5. Viene dimostrato in modo analitico come la natura topologica di tali equilibri dipenda strettamente dal rapporto di massa dei due corpi primari. Infine, attraverso lo studio del polinomio caratteristico associato, viene ricavato il celebre limite di stabilità di Routh, il valore soglia critico che demarca la transizione di fase tra il regime dinamico ellittico e quello iperbolico.