Concentrazione di misura e legge semicircolare di Wigner

In questa tesi dimostreremo la legge semicircolare di Wigner, un risultato pilastro della teoria delle matrici aleatorie, con applicazioni nella fisica nucleare e nel machine learning. Utilizzeremo il metodo di Stieltjes, introdotto da Vladimir Marchenko e Leonid Pastur nel 1967. Prima dedurremo delle proposizioni sulla stabilità di autovalori di matrici, che useremo per ridurre la dimostrazione al caso particolare di variabili aleatorie troncate e con entrate diagonali nulle. Successivamente dimostreremo risultati di concentrazione di misura e proprietà della trasformata di Stieltjes, che insieme ci permetteranno di studiare la successione delle distribuzioni empiriche spettrali e di trovare il loro limite, che è la distribuzione semicircolare.