Dal problema di Kakeya alla congettura del moltiplicatore del disco

This undergraduate thesis analyzes the two-dimensional Kakeya problem and its profound connection to the disk multiplier conjecture. The central objective is to illustrate the close intrinsic connection between the two problems; in particular, it shows how the geometric solution to the Kakeya problem allows us to disprove the analytical disk conjecture. The work is structured in three parts. The first section examines the simplification of the disk conjecture, showing how the study of the problem in dimension n can be reduced to two-dimensional analysis. The second part proceeds to the actual disproof of the conjecture through the geometric construction of a "Kakeya set" of arbitrarily small size. Finally, the work concludes by showing how this set solves the homonymous geometric problem, thus highlighting a connection between two apparently distant fields of mathematics.

In questa tesi di Laurea Triennale viene analizzato il problema di Kakeya in dimensione due e la sua profonda connessione con la congettura del moltiplicatore del disco. L’obiettivo centrale è illustrare lo stretto legame intrinseco tra i due problemi; in particolare, si mostra come la soluzione geometrica del problema di Kakeya permetta di confutare la congettura analitica del disco. Il lavoro è strutturato in tre parti. Nella prima sezione si esamina la riduzione della congettura del disco, mostrando come lo studio del problema in dimensione n possa essere ricondotto all’analisi bidimensionale. Nella seconda parte si procede alla confutazione effettiva della congettura attraverso la costruzione geometrica di un ”insieme di Kakeya” di misura arbitrariamente piccola. Infine, l’opera si conclude mostrando come tale insieme risolva l’omonimo problema geometrico, evidenziando così una connessione tra due ambiti della matematica apparentemente distanti.