La costante di connettività della griglia a nido d'ape

Self-Avoiding Walks (SAWs) constitute a crucial model in statistical physics and enumerative combinatorics, originally introduced to describe the spatial configurations of polymers. Despite their elementary geometric formulation, the analytical calculation of their connectivity constant \(\mu\) remained an open problem for decades, primarily addressed through numerical and heuristic estimates. This thesis retraces the theoretical breakthrough of 2010, when Hugo Duminil-Copin and Stanislav Smirnov provided the first rigorous mathematical proof that the value of \(\mu\) for the hexagonal (honeycomb) lattice is exactly \(\sqrt{2 + \sqrt{2}}\), confirming the famous deduction obtained in 1982 by physicist Bernard Nienhuis via the Coulomb gas formalism. The methodological core of the proof lies in the introduction of the parafermionic observable, a complex-valued function that, when evaluated at a specific critical weight assigned to the walks, satisfies a discrete analogue of Cauchy's integral theorem. The work is structured into three main parts: Chapter 1 formalizes the preliminary concepts of graph theory and rigorously proves the existence of the connectivity constant; Chapter 2 analyzes the central analytical tools for the proof, including generating functions, the properties of the parafermionic observable, and the decomposition of walks into bridges; Chapter 3 concludes with the proof of the Duminil-Copin and Smirnov theorem for the honeycomb lattice, and then extends the rigorous calculation of the connectivity constant to the \(3.12^2\) lattice via the lattice transformation procedure proposed by Jensen and Guttmann in 1998 and later resumed by Duminil-Copin..

I cammini autoevitanti (Self-Avoiding Walks, SAW) costituiscono un modello cruciale della fisica statistica e della combinatoria enumerativa, originariamente introdotto per descrivere la configurazione spaziale dei polimeri. Nonostante l'elementare formulazione geometrica, il calcolo analitico della loro costante di connettività \(\mu\) ha rappresentato per decenni un problema aperto, affrontato prevalentemente tramite stime numeriche ed euristiche. Questo elaborato ripercorre la svolta teorica del 2010, quando Hugo Duminil-Copin e Stanislav Smirnov hanno fornito la prima dimostrazione matematica rigorosa che il valore di \(\mu\) per la griglia esagonale (a nido d'ape) è esattamente \(\sqrt{2 + \sqrt{2}}\), confermando la celebre deduzione ottenuta nel 1982 dal fisico Bernard Nienhuis tramite il formalismo del gas di Coulomb. Il fulcro metodologico della dimostrazione risiede nell'introduzione dell'osservabile parafermionica, una funzione a valori complessi che, valutata in corrispondenza di un preciso peso critico assegnato ai cammini, soddisfa un analogo discreto del teorema integrale di Cauchy. La trattazione si articola in tre parti fondamentali: il Capitolo 1 formalizza le nozioni preliminari di teoria dei grafi e dimostra rigorosamente l'esistenza limite della costante di connettività; il Capitolo 2 analizza gli strumenti analitici centrali per la dimostrazione, tra cui le funzioni generatrici, le proprietà dell'osservabile parafermionica e la decomposizione dei cammini in ponti; il Capitolo 3 conclude con la dimostrazione del teorema di Duminil-Copin e Smirnov per la griglia esagonale, per poi estendere il calcolo analitico della costante di connettività al reticolo \(3.12^2\) tramite il procedimento di trasformazione reticolare proposto da Jensen e Guttmann nel 1998 e successivamente ripreso da Duminil-Copin.