Equazione di Korteweg-de Vries e sue soluzioni solitoniche

Questo elaborato si propone di studiare le proprietà ed il comportamento di un certo tipo di equazioni d'onda non lineari, che hanno particolari soluzioni localizzate dette solitoni. L'analisi riguarda in particolare le onde di superficie in acque poco profonde e prende in considerazione le soluzioni solitoniche dell'equazione di Korteweg-de Vries. Il primo capitolo introduce l'argomento: vi è riportata una breve storia della scoperta dei solitoni, dalle prime osservazioni all'elaborazione di equazioni, seguita da una panoramica delle principali proprietà del tipo di onda in esame e da una presentazione del metodo delle differenze finite, utilizzato nel quarto capitolo per la soluzione numerica della KdV. Nel secondo capitolo si delinea il quadro di lavoro per il capitolo successivo. Partendo dalle equazioni di base di meccanica dei fluidi e fissate le condizioni al bordo, si ricavano le equazioni delle onde di superficie, analizzando anche gli effetti della tensione superficiale. Nel terzo si procede così alla deduzione dell'equazione di Korteweg-de Vries in forma standard per mezzo di cambiamenti di variabile e di un'espansione in serie troncata opportunamente. Infine, il quarto capitolo mostra la consistenza di alcune proprietà dei solitoni tramite una soluzione numerica della KdV, riportando i grafici ottenuti dalle simulazioni al variare dei dati iniziali