L'invarianza conforme in meccanica quantistica

L’invarianza conforme e la teoria della rinormalizzazione sono due concetti chiave per diverse branche della fisica teorica contemporanea, come l'elettrodinamica quantistica (QED), la meccanica statistica e gli studi legati al modello standard. Essi sono collegati dal fenomeno delle “anomalie conformi”, ovvero dalla rottura di una simmetria, quella conforme in questo caso, che incorre nel passaggio da una descrizione classica di un sistema ad una quantistica. Ciò è legato al fatto che la teoria della rinormalizzazione, per risolvere i problemi legati a quantità infinite, introduca un parametro in grado di identificare una scala di energia, spazio o tempo per il sistema e definisca una funzione, detta funzione beta, che mostra la variazione della costante di accoppiamento al modificarsi della scala considerata. A causa di ciò si ha la rottura dell’invarianza di scala e, di conseguenza, di quella conforme. In questo elaborato verranno applicati questi concetti ad un sistema quantistico caratterizzato da un potenziale del tipo g/x^2 dove g è la costante di accoppiamento adimensionale della teoria. Si mostrerà dunque come al variare del valore assunto da g saranno possibili diverse formulazioni dipendenti dal fatto di avere una costante di accoppiamento maggiore o minore di -1/4. Nello specifico per g maggiore o uguale a -1/4 l’Hamiltoniana risulterà limitata inferiormente, pertanto si potranno sfruttare le proprietà legate alla simmetria conforme. Dopo aver definito le trasformazioni conformi finite e infinitesime si applicherà la versione debole del teorema di Noether per determinare i generatori associati a traslazioni (H), dilatazioni (D) e trasformazioni conformi speciali (K); in seguito, dopo aver dimostrato come l’Hamiltoniana presenti uno spettro continuo, si definirà un nuovo operatore G come combinazione lineare dei generatori H,D e K e si riformulerà completamente il problema in funzione di esso. Si dimostrerà, tuttavia, l’esistenza di un vincolo sui coefficienti della combinazione lineare che porterà alla selezione solamente degli operatori che permetteranno una descrizione completa dell'evoluzione temporale del sistema. In funzione di tre di essi, L0,L+ e L-, e dell’operatore di Casimir L^2 dell’algebra ad essi associata, verrà descritto il sistema, determinando esplicitamente autovalori e autovettori di L0 e L^2. Si procederà, dunque, a definire il collegamento tra gli autovettori di L0 e quelli, generalizzati, dell’Hamiltoniana. Si dimostrerà, infine, quali siano i vincoli che un sistema ad N particelle soggetto ad un potenziale V(X) debba soddisfare per presentare invarianza conforme. Nel caso opposto, invece, avremo un’Hamiltoniana non limitata inferiormente, quindi si utilizzerà, in analogia con quanto avviene in QFT, la teoria della rinormalizzazione per ottenere uno stato fondamentale finito per l’energia; si presenterà, inoltre, una descrizione di tutti gli autostati dell’Hamiltoniana, compresi quelli non normalizzabili, ed infine si mostrerà come, nel caso di g maggiore o uguale a -1/4, venga ripristinata l’invarianza conforme. Conformal invariance and renormalization theory are key concepts of different branches of contemporary theoretical physics, such as quantum electrodynamics, statistical mechanics and standard model studies. These concepts are bound to each other by a particular phenomenon, named "conformal anomalies", that is the symmetry breaking caused by the transition between a classical and a quantum description of a physical system. That is due to the fact that renormalization theory, in order to solve the problem of infinity quantities, introduces a parameter that describes an energy, time or space scale for the system and defines a function, named beta function, that shows the variation of the coupling constant as function of the considered scale. As a result of this we have the scale symmetry breaking and, consequently, the conformal symmetry breaking. In this thesis these concepts will bea applied to a quantum system characterized by a g/x^2 potential, where g is the adimensional coupling constant of the theory. It will be shown that there could be different reformulations of the problem depending on the value takes by g. In the specific case if g is greater or equal to -1/4 the Hamiltonian will result bound from below, so we could use properties associated to conformal invariance. After the definition of finite and infinitesimal conformal transformations we'll apply the weak version of Noether's theorem in order to find generators associated to translations (H), dilatations (D) and special conformal transformations (K); after this we will demonstrate that the Hamiltonian has a continuous spectrum, so we will define another operatore G as linear combination of generators H,D,K and we'll completely reformulate the problem. We'll find, however, a restriction on coefficients of the linear combination that will lead to the selection only of those operators that permit a complete description of the time evolution of the system. As a function of three of those, L0, L+ and L-, and of the Casimir operator L^2 of the algebra associated to those operators, we'll describe the system, finding the explicit expression of eigenvalues and eigenstates of L0 and L^2. We'll proceed, then, to the determination of the link between L0's eigenstates and Hamiltonian ones. We'll demonstrate at the end the restriction that a system of N particles described by a potential V(X) must satisfy in order to present conformal invariance. In the opposite case, instead, we'll have an unbounded Hamiltonian so, similarly to QFT, we'll use renormalization theory in order to find a finite ground state for energy; we'll then present a description of all the eigenstates of the Hamiltonian, even the non-normalizable ones and in the end we'll show how, in the case of g greater or equal to -1/4 we'll restore conformal invariance.