La trottola della Veselova, un sistema anolonomo integrabile

Il presente lavoro di tesi triennale ha per oggetto un sistema meccanico integrabile detto "trottola della Veselova", un corpo rigido con un punto fisso e soggetto ad un vincolo anolonomo sulle velocità. Esso è stato introdotto dalla matematica russa L. E. Veselova nel 1986 con l'articolo New cases of integrability of the equation of motion of a rigid body in the presence of a nonholonomic constraint. Questo sistema è andato ad aggiungersi all'esiguo gruppo di corpi rigidi integrabili noti i cui costituenti principali sono il corpo rigido di Euler-Poinsot, la trottola di Lagrange e la trottola della Kovalevskaya. Esso è quindi di fondamentale importanza per lo studio dei sistemi soggetti al vincolo di rigidità. Altrettanto, se non addirittura maggiore, interesse ha suscitato il fatto che sia un sistema non hamiltoniano integrabile. Pur provenendo dal "mondo" ancora per molti versi inesplorato dei sistemi anolonomi, esso presenta le caratteristiche proprie di ogni sistema hamiltoniano: nello spazio delle fasi è presente una misura invariante e il flusso si svolge sui tori invarianti bidimensionali in cui è foliato lo spazio delle fasi. Tale scoperta ha dato nuova linfa allo studio dei sistemi anolonomi favorendo la ricerca di altri casi che siano integrabili. Il primo capitolo di questo lavoro è dedicato alla presentazione del sistema della Veselova tridimensionale e dei principali risultati che ne garantiscono l'integrabilità. Dopo aver introdotto la nozione di vincolo anolonomo, definiamo matematicamente il particolare vincolo della Veselova e le corrispondenti equazioni del moto. Ci soffermeremo poi sulla particolare simmetria di cui gode il sistema e che permette la riduzione del sistema completo 5-dimensionale a un sistema ridotto di dimensione 4. La presenza di due integrali primi indipendenti e di una misura invariante permetterà poi l'utilizzo del teorema di Eulero-Jacobi per provare l'integrabilità del sistema. Il secondo capitolo è dedicato allo studio con metodi numerici della dinamica del sistema ridotto, che - come vedremo - può essere considerata rappresentativa anche di quello completo. La dinamica di un insieme di livello dell'energia del sistema ridotto (diffeomorfo a SO(3)) potrà essere rappresentata nel modello a palla solida di SO(3) con i punti antipodali identificati. Un ruolo cruciale per la dinamica è giocato dalle sei diverse rotazioni stazionarie attorno agli assi principali di inerzia. Si può provare numericamente che quattro rotazioni consistono in orbite stabili ellittiche nello spazio delle fasi, mentre due presentano un carattere iperbolico e rendono interessante lo studio della loro varietà stabile e instabile. Il nostro lavoro consisterà nel cercare di raffigurare queste varietà con metodi numerici utilizzando il software Mathematica, in particolare mediante un loro disegno nella palla solida.