Solitoni nell'equazione di Schrödinger non polinomia

Il solitone è un'onda che, propagandosi con una certa velocità, mantiene inalterato il proprio profilo. Tale effetto è dovuto a dei termini non lineari nelle equazioni del moto che vanno a cancellare gli effetti dispersivi che altrimenti ne altererebbero la forma. I solitoni si manifestano in svariati ambiti della fisica, a partire dalla fluidodinamica, dove furono per la prima volta osservati da John Scott Russell, per passare poi alla fisica dei plasmi ed infine ai condensati di Bose-Einstein, caso del quale ci occuperemo. Sono stati infatti rilevati sperimentalmente per la prima volta nel 1999 in un condensato di Bose-Einstein fatto da atomi di Rubidio dei solitoni scuri (dark), ossia che presentano come forma d'onda una depressione, nel 2002 in un condensato fatto da atomi di Litio dei solitoni chiari (bright), che presentano un'elevazione, ed anche, sempre nel 2002, un treno di solitoni, ossia un insieme di più bright soliton vicini tra loro. In questa tesi studieremo in primis le proprietà di un generico condensato di Bose-Einstein, ricavando tramite un approccio di tipo variazionale l'equazione di Gross-Pitaevskii, che descrive l'evolversi temporale dello stato del sistema. Successivamente analizzeremo il caso specifico in cui sia presente un potenziale esterno armonico lungo un dato piano e ridurremo il problema ad un numero inferiore di dimensioni tramite la scelta di un certo ansantz, arrivando a un'equazione differenziale alle derivate parziali detta equazione di Schrödinger non polinomiale. A questo punto cercheremo come soluzioni particolari di tale equazione dei solitoni, analizzando prima il problema in maniera generica, soffermandoci solo in seguito sui vari tipi di solitoni, bright o dark. Effettueremo poi per i solitoni trovati un confronto tra la loro forma, analitica (quando possibile) o grafica (ricavata da integrazione numerica), e quella dei solitoni soluzione dell'equazione di Gross-Pitaevskii 1D, che deriva da un approccio variazionale differente, analizzandone le analogie e le differenze al variare dell'intensità dell'interazione tra i bosoni del sistema. Infine studieremo lo spettro di eccitazione di Bogoliubov relativo all'equazione di Schrödinger non polinomiale ed useremo tale risultato per stimare approssimativamente il numero di solitoni che si formano in un treno di solitoni, confrontando anche in quest'ultimo caso il risultato da noi ottenuto con quello della 1D GPE.