Dinamica Quantistica Nonlineare dei Superfluidi

L'intento principale di questo elaborato è quello di anlazziare le condizioni per le quali è possibile realizzare la propagazione di un'onda sonora in un condensato di Bose-Einstein puro. Inizialmente si studiano le proprietà generali di un sitema di particelle identiche, ricavando le equazioni che regolano l'evoluzione temporale della funzione d'onda di particella singola con un potenziale di interazione qualsiasi. Queste equazioni vengono poi riscritte utilizzando le variabili di Madelung, parametrizzazzione della funzione d'onda tramite la quale si scrive la dinamica del sistema in funzione della sua densità. Utilizzando un'approsimazione lineare si determina il moto di una piccola perturbazione del sistema, calcolando esattamente la legge di dispersione. Infine si studia analiticamente e graficamente lo sviluppo della legge di dispersione, calcolando le relazione tra i vari parametri che permettono di ottenere il moto stazionario. The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible. The main intent of this thesis is to study the conditions for which the propagation of a sound wave in a pure Bose-Einstein condensate can be interpreted. First of all, the general properties of a system of identical particles are studied, identifying the equations that regulate the temporal evolution of the particle wave function with a generic interacting potential. These equations are then reconsidered using the Madelung variables, parametrization of the wave function by which the dynamics of the system are written according to its density.Thanks to a linear approximation, the motion of a small perturbation of the system is determined, calculating precisely the law of dispersion. Finally, the development of the dispersion law is studied analitically and graphically, computing the relationships between the various parameters that let the stationary motion possible.