Risoluzione di singolarità per curve algebriche

Given an irreducible algebraic curve, i.e. defined as the set of zeros of a polynomial, in general it presents singularities. The final claim of this thesis is to show that for each algebraic curve there is a nonsingular one such that between the two curves there is a birational morphism. A birational morphism represents a class of equivalence of particular maps between varieties, called morphisms. To define a morphism between two curves, the concept of variety is introduced. In the most general sense, i.e. defined within products of projective spaces with affine spaces, varieties are open subsets of an irreducible algebraic set. Given a variety, it is defined its coordinate ring, it is the set of rational functions defined for each point of the variety, and its quotient field, called the function field. We see that there is a correspondence between variety morphisms and homomorphisms between the respective coordinate rings. This correspondence is useful to show that two varieties are birationally equivalent if and only if their function fields are isomorphic; from this it also follows that every curve is birationally equivalent to a plane curve: this will serve to reduce to the case of plane curves for the resolution of singularities. The general idea to solve the singularity is to "remove" the singular point and insert a projective line in its place, so the directions of the tangent lines to the curve in the singular point correspond to a point on this projective line. The singular curve will belong to the variety obtained by adding the projective line to the plane from which the singular point has been removed. In order for the obtained curve to be nonsingular it is necessary to have singular points with ordinary tangents, and in this regard it is necessary the use of quadratic transformations.

Data una curva algebrica irriducibile, cioè definita come l'insieme degli zeri di un polinomio, in generale essa presenta delle singolarità, ovvero dei punti con molteplicità maggiore di 1. Lo scopo finale di questa tesi è dunque di mostrare che per ogni curva algebrica ne esiste una non singolare tale che tra le due curve esiste un morfismo birazionale. Un morfismo birazionale rappresenta una classe di equivalenza di particolari mappe tra varietà, dette morfismi. Per definire un morfismo tra due curve si introduce il concetto di varietà. Nel senso più generale, ovvero definite all'interno prodotti di spazi proiettivi con spazi affini, le varietà sono sottoinsiemi aperti di un insieme algebrico irriducibile. Data una varietà si definisce il suo anello delle coordinate, esso è l’insieme delle funzioni razionali definite per ogni punto della varietà, e il suo campo quoziente, detto campo delle funzioni. Si vede che esiste una corrispondenza tra morfismi di varietà e omomorfismi tra i rispettivi anelli delle coordinate. Tale corrispondenza risulta utile per mostrare che due varietà sono birazionalmente equivalenti se e solo se i loro campi di funzioni sono isomorfi; da ciò segue inoltre che ogni curva è birazionalmente equivalente a una curva piana: questo servirà per ridursi al caso di curve piane nella risoluzione di singolarità. L’idea generale per risolvere la singolarità è di "rimuovere" il punto singolare e al suo posto inserire una retta proiettiva, quindi le direzioni delle rette tangenti alla curva nel punto singolare corrispondono a un punto su tale retta proiettiva. La curva singolare apparterrà alla varietà ottenuta aggiungendo la retta proiettiva al piano a cui è stato tolto il punto singolare. Affinché la curva ottenuta sia non singolare è necessario supporre di avere punti singolari con tangenti ordinarie, e a tal proposito è necessario utilizzare le trasformazioni quadratiche.