(Beta, Gamma) - funzioni di Chebyshev e loro applicazione ai fenomeni di Gibbs e Runge

In questo elaborato presentiamo le (β, γ)-funzioni di Chebyshev e i corrispondenti (β, γ)-punti di Chebyshev. Mostriamo che possono essere considerati come una gene- ralizzazione dei polinomi di Chebyshev, analizzando le loro proprietà più importanti. In particolare, dimostriamo che sono una famiglia ortogonale rispetto ad una speci- fica funzione peso in un sottoinsieme di [−1, 1] e analizziamo i valori di β e di γ per i quali le (β, γ)-funzioni di Chebyshev risultano essere polinomi. Successivamente ci concentriamo sui (β, γ)-punti di Chebyshev-Lobatto, studiandone l’andamento della costante di Lebesgue per determinati valori dei parametri e dimostrando che pos- sono essere definiti come un insieme di punti equispaziati trasformati dalla mappa Kosloff-Tal-Ezer(KTE). A partire da queste considerazioni introduciamo il metodo Gibbs-Runge-Avoiding Stable Polynomial Approximation (GRASPA) grazie al quale `e possibile mitigare sia il fenomeno di Gibbs che quello di Runge. In conclusione, mostriamo diversi esperimenti numerici che confermano quanto discusso sul metodo GRASPA.