In the following work we will be analyse the concept of mathematical continuum. Intuitively, a line, a plane, a succession etc. is continuous iff it has no holes in it. After introducing the basic concepts of continuity in mathematics (density, function, interval etc.), we will see the conceptual problems generated by critical thinking about the continuum. The continuum generates three main problems: first, mathematics is able to work with the discrete only (i.e., the negation of the continuous); second, whatever that is continuum, it is also divisible by infinity (i.e., the infinity is inside each finite and continuum portion of reality); and finally, the infinitesimals (essential mathematical entities for mathematical analysis, the science of the continuum): they are entities with inconsistent definitions and an unclear status within a framework of the philosophy of mathematics. Through Kant, we will see that mathematics, despite working only with the discrete, must presuppose the continuous in order to construct its entities and, therefore, philosophy will be able to analyse mathematical concepts (constructed thanks to the continuous) in order to understand continuity itself. Kant, despite being limited by the mathematical tools of the time, was an author who developed an effective model to show the potential and limits of mathematical analysis (such as the science of the continuum). Furthermore, Kant, in the first critique, directly addresses the problem of the division of the infinite of the continuous in both the intuitive and phenomenal worlds; he explains in what sense the infinite is contained in the finite (in each portion of a real continuous). The last chapter deals with the problem of infinitesimal numbers. Weyl shows how mathematical analysis is built into a 'sandcastle' and how it is too far removed from phenomenal experience, which is always continuous. In the phenomenal world, time is captured in instants, whereas in mathematics there are only smaller and smaller time intervals, but never small enough to formally represent 'the instant'. The instant is the smallest perceivable moment (the “Now); infinitesimal is the smallest conceivable number. Thus, there is a strict instant-infinitesimal relationship. A mathematician of the last century, Abraham Robinson, with the invention of non-standard analysis (so called in opposition to standard analysis, which Weyl also had in mind), succeeds in giving a formal construction of the infinitesimal capable of removing any uncertain definition such as 'small at will', “small as you wish”, “equal and different to zero in the same time” etc. di and capable of bringing infinitesimal numbers back into the world of mathematics. Furthermore, non-standard analysis manages to capture the temporal instant that Weyl spoke of in Das Kontinuum without falling into approximate language. Interesting questions remain open, like: how can far Abraham Robinson convince realists in the philosophy of mathematics? Or how limited is he in his formal system, that he himself constructed?

Nel seguente elaborato si analizzerà il concetto del continuo matematico. Intuitivamente una retta, un piano, una successione etc. sono continue se e solo se non presenta buchi all’interno. Dopo aver introdotto i concetti base della continuità in matematica (densità, funzione, intervallo etc.), si presenteranno i problemi concettuali generati da un pensiero critico sul continuo. Il continuo genera tre problemi principali: la matematica riesce a lavorare solo con il discreto (negazione del continuo); tutto ciò che è continuo è divisibile all’infinito (sembrerebbe quindi che ogni porzione continua finita contenga l’infinito); gli infinitesimali (enti matematici essenziali per l’analisi matematica, la scienza del continuo) sono enti con definizioni non coerenti e con uno statuto poco chiaro all’interno di un quadro della filosofia della matematica. Attraverso Kant si mostrerà che la matematica, nonostante lavori solo con il discreto, deve presuppore il continuo per costruire i propri enti e, pertanto, che la filosofia potrà analizzare i concetti matematici (costruiti grazie al continuo) per comprendere la continuità stessa. Kant è un autore che, nonostante fosse limitato dagli strumenti matematici dell’epoca, ha un modello efficace per mostrare le potenzialità e i limiti dell’analisi matematica (come la scienza del continuo). Kant inoltre, nella prima critica, affronta direttamente il problema della divisione dell’infinito del continuo sia nel mondo intuitivo sia in quello fenomenico, spiegando in che modo l’infinito è contenuto nel finito in ogni porzione di un reale continuo. Nell’ultimo capitolo si affronterà il problema dei numeri infinitesimali. Weyl mostra come l’analisi matematica sia costruita in un “castello di sabbia” e come disti troppo dall’esperienza fenomenica, esperienza sempre continua. Nel mondo fenomenico il tempo viene colto a istanti, mentre nella matematica ci sono solo intervalli temporali sempre più piccoli, ma mai abbastanza piccoli per rappresentare formalmente “l’istante”. L’istante è il momento più piccolo percepibile; il numero infinitesimale è il numero più piccolo pensabile, c’è quindi una corrispondenza stretta istante-infinitesimale. Un matematico dello scorso secolo, Abraham Robinson con l’invenzione dell’analisi non-standard (chiamata così in opposizione a quella standard alla quale faceva riferimento anche Weyl), riesce a fornire una costruzione formale dell’infinitesimale in grado di eliminare tutte quelle definizioni approssimative come “piccolo a piacere”, “differenza uguale e diversa da zero, “approccio a zero” etc. ed è in grado di far rientrare i numeri infinitesimali nel mondo della matematica. L’analisi non-standard infine riesce a cogliere l’istante temporale di cui parlava Weyl nel Das Kontinuum senza cadere in un linguaggio approssimativo. Rimangono tuttavia aperte stimolanti questioni: capire quanto Abraham Robinson possa convincere i realisti della filosofia della matematica, provare quanto riesce a cogliere davvero il continuo oppure verificare quanto il matematico sia limitato nel sistema formale, da lui stesso costruito.

Il problema del continuo matematico: indagini filosofiche a partire da Kant e Weyl

Abstract

In the following work we will be analyse the concept of mathematical continuum. Intuitively, a line, a plane, a succession etc. is continuous iff it has no holes in it. After introducing the basic concepts of continuity in mathematics (density, function, interval etc.), we will see the conceptual problems generated by critical thinking about the continuum. The continuum generates three main problems: first, mathematics is able to work with the discrete only (i.e., the negation of the continuous); second, whatever that is continuum, it is also divisible by infinity (i.e., the infinity is inside each finite and continuum portion of reality); and finally, the infinitesimals (essential mathematical entities for mathematical analysis, the science of the continuum): they are entities with inconsistent definitions and an unclear status within a framework of the philosophy of mathematics. Through Kant, we will see that mathematics, despite working only with the discrete, must presuppose the continuous in order to construct its entities and, therefore, philosophy will be able to analyse mathematical concepts (constructed thanks to the continuous) in order to understand continuity itself. Kant, despite being limited by the mathematical tools of the time, was an author who developed an effective model to show the potential and limits of mathematical analysis (such as the science of the continuum). Furthermore, Kant, in the first critique, directly addresses the problem of the division of the infinite of the continuous in both the intuitive and phenomenal worlds; he explains in what sense the infinite is contained in the finite (in each portion of a real continuous). The last chapter deals with the problem of infinitesimal numbers. Weyl shows how mathematical analysis is built into a 'sandcastle' and how it is too far removed from phenomenal experience, which is always continuous. In the phenomenal world, time is captured in instants, whereas in mathematics there are only smaller and smaller time intervals, but never small enough to formally represent 'the instant'. The instant is the smallest perceivable moment (the “Now); infinitesimal is the smallest conceivable number. Thus, there is a strict instant-infinitesimal relationship. A mathematician of the last century, Abraham Robinson, with the invention of non-standard analysis (so called in opposition to standard analysis, which Weyl also had in mind), succeeds in giving a formal construction of the infinitesimal capable of removing any uncertain definition such as 'small at will', “small as you wish”, “equal and different to zero in the same time” etc. di and capable of bringing infinitesimal numbers back into the world of mathematics. Furthermore, non-standard analysis manages to capture the temporal instant that Weyl spoke of in Das Kontinuum without falling into approximate language. Interesting questions remain open, like: how can far Abraham Robinson convince realists in the philosophy of mathematics? Or how limited is he in his formal system, that he himself constructed?
Scheda Scheda DC
2022
The Problem of the Mathematical Continuum: A Philosophical Investigation Developed from the Works of Kant and Weyl
Nel seguente elaborato si analizzerà il concetto del continuo matematico. Intuitivamente una retta, un piano, una successione etc. sono continue se e solo se non presenta buchi all’interno. Dopo aver introdotto i concetti base della continuità in matematica (densità, funzione, intervallo etc.), si presenteranno i problemi concettuali generati da un pensiero critico sul continuo. Il continuo genera tre problemi principali: la matematica riesce a lavorare solo con il discreto (negazione del continuo); tutto ciò che è continuo è divisibile all’infinito (sembrerebbe quindi che ogni porzione continua finita contenga l’infinito); gli infinitesimali (enti matematici essenziali per l’analisi matematica, la scienza del continuo) sono enti con definizioni non coerenti e con uno statuto poco chiaro all’interno di un quadro della filosofia della matematica. Attraverso Kant si mostrerà che la matematica, nonostante lavori solo con il discreto, deve presuppore il continuo per costruire i propri enti e, pertanto, che la filosofia potrà analizzare i concetti matematici (costruiti grazie al continuo) per comprendere la continuità stessa. Kant è un autore che, nonostante fosse limitato dagli strumenti matematici dell’epoca, ha un modello efficace per mostrare le potenzialità e i limiti dell’analisi matematica (come la scienza del continuo). Kant inoltre, nella prima critica, affronta direttamente il problema della divisione dell’infinito del continuo sia nel mondo intuitivo sia in quello fenomenico, spiegando in che modo l’infinito è contenuto nel finito in ogni porzione di un reale continuo. Nell’ultimo capitolo si affronterà il problema dei numeri infinitesimali. Weyl mostra come l’analisi matematica sia costruita in un “castello di sabbia” e come disti troppo dall’esperienza fenomenica, esperienza sempre continua. Nel mondo fenomenico il tempo viene colto a istanti, mentre nella matematica ci sono solo intervalli temporali sempre più piccoli, ma mai abbastanza piccoli per rappresentare formalmente “l’istante”. L’istante è il momento più piccolo percepibile; il numero infinitesimale è il numero più piccolo pensabile, c’è quindi una corrispondenza stretta istante-infinitesimale. Un matematico dello scorso secolo, Abraham Robinson con l’invenzione dell’analisi non-standard (chiamata così in opposizione a quella standard alla quale faceva riferimento anche Weyl), riesce a fornire una costruzione formale dell’infinitesimale in grado di eliminare tutte quelle definizioni approssimative come “piccolo a piacere”, “differenza uguale e diversa da zero, “approccio a zero” etc. ed è in grado di far rientrare i numeri infinitesimali nel mondo della matematica. L’analisi non-standard infine riesce a cogliere l’istante temporale di cui parlava Weyl nel Das Kontinuum senza cadere in un linguaggio approssimativo. Rimangono tuttavia aperte stimolanti questioni: capire quanto Abraham Robinson possa convincere i realisti della filosofia della matematica, provare quanto riesce a cogliere davvero il continuo oppure verificare quanto il matematico sia limitato nel sistema formale, da lui stesso costruito.
Continuo matematico
infinitesimale
Kant
Weyl
filosofia matematica
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Utilizza questo identificativo per citare o creare un link a questo documento: `https://hdl.handle.net/20.500.12608/43693`