Studio sull'errore L^p della quantizzazione Fourier-based applicata al prezzaggio di opzioni.

Financial markets have always been led by uncertainty, therefore Probability theory is an essential tool to model them and to tackle pricing and hedging of options. Specifically, methods used also in Statistical Physics and Complex Systems, such as stochastic processes (Brownian motion in particular), are the core of models for the dynamics of underlying assets. As these models are based on stochastic differential equations, their solutions cannot be always found analytically. In such cases pricing, which in practice is equivalent to computing a (conditional) expectation, is performed e.g. via numerical procedures, such as Monte-Carlo or quantization, to cite a few of them. Quantization is a discretization procedure: when applied to a (continuous) random variable, it produces a set of points which optimally (in a sense to be made precise) approximates the original distribution. The aim of this work is presenting and discussing quantization techniques. Moreover, the analysis is focused on a particular quantization method, based on the Fourier transform, and on its L^p error. As an application, in the famous Black-Scholes model a study of the L^p quantization error, for different values of p>=1 is performed, with a special focus on pricing.

I mercati finanziari sono stati da sempre guidati dall'incertezza, perciò la teoria delle probabilità è uno strumento essenziale per modellizzarli e affrontare il prezzaggio e la copertura delle opzioni. Nello specifico, i metodi usati anche in Fisica Statistica e Sistemi Complessi, come i processi stocastici (il moto browniano in particolare), sono il nucleo dei modelli per la dinamica degli assets sottostanti. In questi casi il prezzaggio, che in pratica è equivalente a calcolare un'aspettazione (condizionale), è effettuato ad esempio tramite metodi numerici, come Monte-Carlo o quantizzazione, per citarne alcuni. La quantizzazione è una procedura di discretizzazione: quando applicata a una variabile aleatoria (continua), genera una serie di punti che ottimamente (al fine di essere precisi) approssimano la distribuzione originale. Lo scopo di questo lavoro è presentare e discutere queste tecniche di quantizzazione. Inoltre, l'analisi è focalizzata su un particolare metodo di quantizzazione, basato sulla trasformata di Fourier, e sul suo errore L^p. Come applicazione viene mostrato uno studio dell'errore di quantizzazione L^p nel famoso modello di Black-Scholes, per diversi valori di p>=1, con uno speciale focus sul prezzaggio.