Densità elettronica nell'atomo di elio: approccio perturbativo e funzionale densità di Thomas-Fermi

In this paper we want to study and apply different theoretical approaches to solve a quantum many bodies problem: in particular, we want to estimate the energy of the ground state of the helium atom. The theoretical results obtained will then be compared with the most recent experimental results, in order to test the theory. We will start, therefore, from a simple approximation of independent electrons, finding eingenfunctions and estimating the energy for the ground state, and then move on to a first correction to the value obtained through a perturbative approach. Finally, a more sophisticated method will be used, namely, the Thomas-Fermi density functional. From the latter we will get a differential equation whose numerical solution will determine an electronic density profile for the ground state, from which we can then estimate the energy.

In questo elaborato si vogliono studiare e applicare differenti approcci teorici per risolvere un problema quantistico a molti corpi: in particolare, si vuole stimare l'energia dello stato fondamentale dell'atomo di elio. I risultati teorici ottenuti verranno poi confrontati con i risultati sperimentali più recenti, al fine di testare la teoria. Si partirà, quindi, da una semplice approssimazione di elettroni indipendenti, trovando autofunzioni e stimando l'energia per lo stato fondamentale, per poi passare ad una prima correzione al valore ottenuto tramite un approccio perturbativo. Infine, si utilizzerà un metodo più sofisticato, ovvero, si utilizzerà il funzionale densità di Thomas-Fermi. Da quest'ultimo si otterrà un'equazione differenziale la cui soluzione numerica permetterà di determinare un profilo di densità elettronica per lo stato fondamentale, da cui si potrà poi stimarne l'energia.