Iperinterpolazione filtrata su domini bivariati con bordo di tipo NURBS

In questo lavoro discutiamo alcuni tipi di iperinterpolazione su domini Ω con frontiera ∂Ω definita a tratti da funzioni NURBS. L’iperinterpolazione è un concetto introdotto nel 1995 da Ian Sloan, in cui si intende approssimare una funzione f ∈ C(Ω) tramite un polinomio pN ∈ PN mediante minimi-quadrati discreti, costruiti con una formula di quadratura con grado di precisione sufficientemente alto. Nel valutare i coefficienti di Fourier di f, rispetto a una base ortonormale di PN, l’autore considera una formula a pesi positivi e nodi interni, avente grado algebrico di precisione 2N. L’autore mostra pure che con questa scelta l’errore in norma 2 converge a zero al tendere di N a infinito, e sottolinea come talora l’iperinterpolante coincida con una interpolante. Nel 2012, Sloan e Womersley hanno introdotto la cosiddetta iperinterpolazione filtrata sulla sfera unitaria, modificando mediante una funzione filtro i coefficienti di Fourier propri dell’iperinterpolante classica. In seguito tale tecnica è stata applicata a classici domini bivariati, come il quadrato, il disco e il simplesso, infatti esistono varie formule di questo tipo anche a bassa cardinalità, come pure sono note esplicitamente basi triangolari ed ortonormali. Nei domini trattati in questa tesi la questione risulta più complessa in quanto tanto le formule di cubatura quanto le basi ortonormali vengono calcolate numericamente. Nei due approcci introdotti, le iperinterpolanti a grado N risultano proiezioni su spazi polinomiali, rispettivamente di polinomi di grado totale N e ⌊N/2⌋. Il vantaggio dell’iperinterpolazione filtrata risulta evidente qualora i campionamenti della funzione f nei nodi di cubatura siano soggetti a un rumore non trascurabile. Esperimenti numerici sottolineano tutto ciò con test in classici domini quale intervallo, disco, sfera, cubo. In questo lavoro consideriamo l’applicazione di tali due approcci a un caso meno classico quale un generico dominio Ω con frontiera ∂Ω definita a tratti da funzioni NURBS. Come anticipato, in mancanza di una esplicita base triangolare ed ortonormale, questa viene calcolata numericamente. Quale formula di quadratura a pesi positivi utilizziamo quella recentemente introdotta nel lavoro Low-cardinality Positive Interior cubature on NURBS-shaped domains. Abbiamo implementato in MATLAB dei codici che permettano il calcolo tanto della iperinterpolante classica come di quella filtrata. Quindi abbiamo verificato numericamente le proprietà di proiezione e mostrato la capacità di fornire una migliore approssimazione da parte della variante filtrata nel caso di funzioni soggette a rilevanti rumori di tipo gaussiano o impulsivo.