L'amplificazione stocastica nel sistema preda-predatore e altre applicazioni

Starting with a historical introduction to the predator-prey system, as done in the article "Predator-Prey Cycles from Resonant Amplification of Demographic Stochasticity" written by A. J. McKane and T. J. Newman (Phys. Rev. Lett. 94, 218102, 2005) the introduction explains the reason for describing ithis system through a stochastic model. Before addressing this model, the formalism of the Master Equation for stochastic systems with discrete variables and interactions is introduced. Thanks to this formalism, the thesis discusses the emergence of stochastic amplification, which occurs in these systems when the mean-field theory predicts an attractive equilibrium. This phenomenon consists of the presence of stochastic oscillations dominated by resonant internal frequencies, which are stimulated by the stochastic noise that originates from the discreteness of the variables and interactions among individuals. Subsequently, the specific case of the McKane and Newman's model is discussed. This model is a non-spatial stochastic model for the predator-prey system characterized by simple biological assumptions, equivalent to those of the deterministic Volterra model. In this example, stochastic amplification qualitatively explains the cyclic evolution of the two populations, which is both intuitively expected and experimentally observed. Deterministic models only justify this cyclic behavior by introducing more sophisticated interactions between species. In order to numerically verify the theoretical results, the stochastic model is simulated using two algorithms (including the Gillespie algorithm). The presence of stochastic oscillations dominated by resonant frequencies is confirmed by calculating the Power Spectral Density of the simulations. Finally, additional applications of stochastic amplification in other fields of science, such as epidemiology and neuroscience, are briefly mentioned and explained.

Partendo da un'introduzione storica sul sistema preda-predatore, si spiega il motivo per cui è opportuno descriverlo attraverso un modello stocastico come effettuato nell’articolo “Predator-Prey Cycles from Resonant Amplification of Demographic Stochasticity” scritto da A. J. McKane and T. J. Newman (Phys. Rev. Lett. 94, 218102, 2005). Prima di trattare tale modello, si introduce il formalismo della Master Equation per sistemi stocastici a variabili ed interazioni discrete, attraverso il quale è possibile osservare l'emergenza del fenomeno dell'amplificazione stocastica nel caso in cui la teoria di campo medio preveda un equilibrio attrattivo. Questo fenomeno consiste nella presenza di oscillazioni stocastiche dominate da frequenze interne risonanti e segue dalla stimolazione di tali frequenze da parte del rumore stocastico originato dalla discretezza delle variabili e delle interazioni fra gli individui. Successivamente, si tratta analiticamente il caso specifico del modello di McKane e Newman, che è un modello stocastico non spaziale per il sistema preda-predatore caratterizzato da semplici ipotesi biologiche, equivalenti a quelle del modello deterministico di Volterra. In questo esempio l'amplificazione stocastica spiega qualitativamente la ciclicità nell'evoluzione delle due popolazioni attesa intuitivamente e osservata sperimentalmente, la quale è stata altrimenti giustificata da modelli deterministici solo introducendo interazioni fra specie più sofisticate. Per verificare numericamente i risultati teorici, attraverso due algoritmi discussi in dettaglio (fra cui quello di Gillespie) viene simulato il modello stocastico, verificando la presenza di oscillazioni stocastiche dominate da frequenze risonanti attraverso il calcolo della Power Spectral Density delle simulazioni. Infine, si citano e si spiegano brevemente ulteriori applicazioni dell’amplificazione stocastica ad altri campi della scienza, quali l’epidemiologia e le neuroscienze.