Teorema del Limite Centrale per Martingale

The preparation of this thesis has started with the will of deepening some probabilistic topics about financial markets, with a major focus on mathematical aspects rather than economical ones. So the work concentrates on probabilistic notions, especially on Martingales and on a generalisation of the Central Limit Theorem for Martingales. However, the most substantial part revolves around the necessary and introductory chapters which are the basis for the latest topics of this thesis. We start by exploring measure theory with a particular interest in sigma-algebras, measure spaces and Lebesgue spaces in order to prepare the reader for the next topics. Then, we continue with stochastic processes and filtrations with a particular insight in Brownian motion and Markov process. The third chapter is about conditional expectation and its properties which is the last piece of information we need to start reviewing Martingales and stopping times. Lastly, the last chapter focuses on convergence theorems and the Martingale Central Limit Theorem which is the main topic of this thesis.

La preparazione di questa tesi è iniziata dalla volontà di approfondire alcune tematiche di tipo probabilistico riguardanti i mercati finanziari, concentrandosi sugli aspetti di tipo matematico piuttosto che economico. Pertanto, il lavoro che viene presentato si focalizza principalmente su elementi di probabilità con un approfondimento sulle Martingale e su una generalizzazione del Teorema del Limite Centrale per queste ultime. Tuttavia, per poter approfondire questi temi, la parte più corposa della tesi si concentrerà innanzitutto sull’esposizione di nozioni introduttive e necessarie per poi passare al Teorema del Limite Centrale per Martingale. Si comincia dando un’infarinatura sulla teoria della misura che comprende sigma-algebre, spazi misurabili e di Lebesgue con il fine di fornire al lettore gli elementi essenziali da utilizzare per comprendere al meglio gli argomenti successivi. In seguito, verranno affrontati i processi stocastici e le filtrazioni con un piccolo approfondimento sul moto browniano e i processi di Markov. L’ultima tessera del mosaico per arrivare ai temi centrali di questa tesi, riguarda la speranza condizionale con le relative proprietà, propedeutica per sviluppare successivamente le Martingale e i tempi d’arresto. Infine, verranno trattati i teoremi di convergenza e il Teorema del Limite Centrale per Martingale che rappresentano il fulcro di questo lavoro.