Forma lineare delle equazioni di Friedmann e probabilità quasi-classica

We formulate Friedmann’s equations as a pair of second-order linear differential equations. This is done using techniques related to the Schwarzian derivative and its symmetry under the projective special linear group. Therefore General Relativity hides an underlying linearity at a cosmological level. For a vanishing spatial curvature there exists an infinite number of pairs of equivalent linear form for Friedmann’s equations. For arbitrary curvature there exists a unique linear form which involves the conformal time. This linear form is a Klein-Gordon space-independent eigenvalues problem and the eigenvalue is the cosmological constant. A generic solution for this eigenvalues problem is analogous to WKB approximation in non-relativistic Quantum Mechanics if one refers to the relation that stands between the scale factor and the momentum of a free-falling particle in FLRW Universe. We will heuristically derive the equation which leads to this approximation, solve it for simple expression for the scale factor, finding a wave function ψ(t) and discuss how ψ(t)ψ(t)* can be related to Universe’s evolution. Although these simple expressions are not physically relevant, we will use them to find exact solutions and to show how it is possible to eliminate singularities in Universe’s evolution as given by ψ(t)ψ(t)*. Riformuliamo le equazioni di Friedmann come una coppia di equazioni differenziali lineari al second’ordine. Questo è fatto sfruttando tecniche associate alla derivata Schwarziana alla sua simmetria sotto il gruppo lineare speciale proiettivo. Pertanto la Relatività Generale nasconde una linearità sottostante in un contesto cosmologico. Per una curvatura spaziale nulla, esiste un infinito numero di coppie di forme equivalenti delle equazioni di Friedmann. Per una curvatura arbitraria esiste un’unica forma lineare che coinvolge il tempo conforme. Questa forma lineare è un problema agli autovalori di Klein-Gordon spazio-indipendente e l’autovalore è la costante cosmologica. Una soluzione generale per questo problema agli autovalori è analogo all’approssimazione WKB in meccanica quantistica non relativistica se uno fa riferimento alla relazione tra il fattore di scala e il momento di una particella non soggetta a forze nell’Universo di FLRW. Deriveremo euristicamente l’equazione da cui emerge tale approssimazione, risolvendola per alcune semplici espressioni del fattore di scala, trovando una funzione d’onda ψ(t) e discutendo come ψ(t)ψ(t)* possa essere associata all’evoluzione dell’Universo. Nonostante queste semplici espressioni non siano fisicamente rilevanti, le useremo per trovare soluzioni esatte e per mostrare come sia possibile eliminare le singolarità nell’evoluzione dell’Universo data da ψ(t)ψ(t)*.