L’assiomatizzazione dei numeri naturali: un’analisi logica sui fondamenti dell’aritmetica

The problem of the foundations of arithmetic has been one of central points in the development of mathematical logic. The issues concerning it can be analyzed from various points of view, and among all of them the one provided by the theory of natural numbers is undoubtedly one of the most interesting planes of investigation. The joint analysis of natural numbers and the axiomatic methodology used to structure mathematical theories will be the basis of our investigation, which aims not only to give a theoretical reading of the results achieved but has as its highest goal to combine theoretical study with a series of metatheoretical analyses. Among the proposed methodologies are investigations of a purely mathematical nature, accompanied by considerations of a more philosophical nature, giving the work an interdisciplinary reading in order to best assess the epistemological status of the theory placed at the center of our investigation. From a logical point of view, in particular, problems related to axiomatization and how different logical orders allow the theory to be expressed in different ways and give it different properties will be analyzed. All these analyses will be kept together by first showing how the foundation of the natural numbers is the basis for the foundation of the entire mathematical scaffold. Secondly, we will start with the naturals, showing the various attempts and approaches used for definition. Final point of landing will be the study of the axiomatic method and the metatheoretical conclusions that can be drawn from the axiomatization of the theory in question in the different orders. In addition to providing a complete description of axiomatic theories in our work we will also field other theories that are important from a mathematical point of view. In the philosophical-historical field we will also look at other important research projects such as the logicist program and the so-called Hilbert program, analyzing their points of interest and criticality on both a more historical and logical level. Such an investigation is shown to be of great interest not only because of a scientific character of the proposed theories, but also from a philosophical perspective since it concerns a set of results which allow us to understand what mathematics really is at its foundations. This dual character is perfectly expressed within a purely logical research, which is pursued in the following thesis work.

Il problema dei fondamenti dell’aritmetica è stato uno di punti centrali nello sviluppo della logica matematica. Le questioni che lo concernono possono essere analizzate sotto diversi punti di vista e tra tutti quello fornito dalla teoria dei numeri naturali è senz’altro uno dei piani di indagine più interessanti. L’analisi congiunta dei numeri naturali e della metodologia assiomatica usata per strutturare le teorie matematiche sarà la base della nostra indagine, che non mira solamente a dare una lettura teorica dei risultati conseguiti ma ha come suo più alto obiettivo di coniugare lo studio teorico a una serie di analisi metateoriche. Tra le metodologie proposte ci sono indagini di pura natura matematica, accompagnate da considerazioni di maggior carattere filosofico, dando al lavoro una lettura interdisciplinare per valutare al meglio lo statuto epistemologico della teoria posta al centro della nostra indagine. Da un punto di vista logico, in particolar modo, si analizzeranno i problemi relativi all’assiomatizzazione e come i diversi ordini logici permettano di esprimere la teoria in modi diversi e le conferiscano diverse proprietà. Tutte queste analisi saranno mantenute assieme mostrando in primis come la fondazione dei numeri naturali sia la base per la fondazione dell’intera impalcatura matematica. In secondo luogo si partirà dai naturali, mostrando i vari tentativi e approcci usati per la definizione. Punto finale di approdo sarà lo studio del metodo assiomatico e le conclusioni metateoriche che si possono trarre dalla assiomatizzazione della teoria in oggetto nei diversi ordini. Oltre a fornire una descrizione completa delle teorie assiomatiche nel nostro lavoro metteremo in campo anche altre teorie importanti da un punto di vista matematico. In campo storico-filosofico si analizzeranno anche altri importanti progetti di ricerca come il programma logicista e il cosiddetto programma di Hilbert, analizzandone punti di interesse e criticità sia su un piano maggiormente storico che logico. Tale indagine si mostra di grande interesse non solo per un carattere scientifico delle teorie proposte, ma anche sotto un’ottica filosofica siccome riguarda una serie di risultati i quali permettano di capire cosa sia realmente la matematica alle sue basi. Tale carattere doppio si esplica perfettamente all’interno di una ricerca puramente logica, la quale è perseguita nel seguente lavoro di tesi.