Strutture o-minimali e caratteristica di Eulero

Nel 1984 Alexander Grothendieck pubblica ”Esquisse d’un Programme” [2], in cui delinea un programma che mira a riformulare l’approccio corrente alla Topologia, in quanto lo ritiene eccessivamente dipendente dall’impostazione data dagli analisti nel corso del ’900. Tale approccio sarebbe responsabile di molti fenomeni bizzarri, dei quali secondo lui non ci si dovrebbe preoccupare in quanto privi di una intuizione geometrica. L’obiettivo quindi `e quello di formulare una topologia moderata (tame), che permetta di unificare alcuni risultati gi`a noti per gli insiemi semialgebrici e nella quale sia prevista una nozione di stratificazione. Lo studio di insiemi e mappe semialgebriche suggerisce a Lou van den Dries, tra gli altri, la possibilit`a di poter dimostrare numerose loro propriet`a a partire da pochi assiomi. Questi caratterizzano degli oggetti che in seguito ad un articolo di Pillay e Steinhorn [3] verranno chiamati strutture o-minimali. Nel libro ”Tame Topology and O-minimal Structures”[5] sono raccolti degli appunti di van den Dries che gi`a nel 1986 circolavano tra gli addetti ai lavori, corroborando la tesi che le strutture o-minimali forniscano un contesto eccellente in cui studiare una topologia tame nel senso indicato da Grothendieck, precludendo la presenza di insiemi patologici, come quello di Cantor. In questa tesi esponiamo i primi risultati della teoria delle strutture o-minimali seguendo il libro di van den Dries [5], in particolare i capitoli 1, 2 e 4. Abbiamo posto particolare impegno nel completare varie dimostrazioni lasciate al lettore e nel chiarire, con maggiori dettagli, alcuni esempi proposti. Illustriamo ora pi`u nel dettaglio i contenuti della tesi. Nel primo capitolo introduciamo il concetto di struttura, di cui dimostriamo alcune propriet`a. In seguito ci restringiamo a considerare le strutture o-minimali su un insieme totalmente ordinato, dove la lettera o sta a ricordare che l’insieme `e ordinato. In questo contesto studiamo gli oggetti definibili, ovvero compatibili con una certa struttura ominimale fissata, e dimostriamo alcuni risultati topologici che danno un’indicazione del carattere tame di queste strutture. Le dimostrazioni dei risultati proposti si sono rivelate pi`u semplici facendo uso delle formule del primo ordine, cos`ı come trattate in [1]. Il secondo capitolo `e dedicato all’esposizione del teorema pi`u importante, ovvero il Teorema 2.13 di decomposizione in celle. Questo risultato permette di concludere, tra le altre cose, che tutte le funzioni definibili sono continue quando ristrette alle celle di una opportuna decomposizione finita. Il terzo e ultimo capitolo `e dedicato allo studio di due invarianti degli insiemi definibili: la dimensione e la caratteristica di Eulero. Introduciamo queste nozioni prima per le celle e in seguito per tutti gli insiemi definibili, a partire da una loro decomposizione, dimostrando poi che il risultato non dipende dalla decomposizione scelta.