Un approccio al trasporto ottimale basato sulla meccanica statistica

La teoria del trasporto ottimale nacque con Gaspard Monge nel XVIII secolo, il quale si confrontò con il problema pratico di trasferire beni o risorse da un luogo a un altro, minimizzando il costo complessivo del trasporto. Sebbene le sue origini siano radicate in economia e logistica, la teoria ora abbraccia una vasta gamma di campi, tra cui matematica, informatica (in particolare nell’apprendimento automatico e nella visione artificiale), fisica e altri settori. Recentemente, l’interesse per il trasporto ottimale si è esteso anche alla meccanica statistica, che ha contribuito allo sviluppo di nuovi algoritmi per la risoluzione del problema. Nella prima parte di questa tesi, esploreremo gli aspetti della teoria del trasporto ottimale più legati alla meccanica statistica, concentrandoci sull’utilizzo di una barriera entropica per facilitare l’ottimizzazione e sulla sostituzione della funzione di costo con una formalmente analoga a un’energia libera. Nella seconda parte della tesi, presenteremo un’applicazione nel campo delle neuroscienze, utilizzando le proprietà metriche del trasporto ottimale per definire una funzione di costo basata sui dati sperimentali dell’attività cerebrale umana. Cercheremo di verificare se questa funzione di costo sia utile a quantificare la difficoltà associata all’esecuzione di determinate attività cognitive.