L'indipendenza dell'ipotesi del continuo ed il suo ruolo nella teoria degli insiemi

This thesis will discuss the continuum hypothesis and its role within set theory. Preliminarily, the foundations on which set theory is based and Zermelo Fraenkel's system of axioms for set theory will be analyzed. The main section of the thesis will focus on proving the independence of the continuum hypothesis through the use of Boolean value models. After introducing the constructible sets model and Boolean-valued models, a demonstration of the independence of the continuum hypothesis within ZF theory will be provided, also giving a hint of Cohen's concept of forcing and the equivalence of the demonstration using Boolean models to Cohen's demonstration of the independence of the continuum hypothesis.

La tesi discuterà l'ipotesi del continuo ed il suo ruolo all'interno della teoria degli insiemi. In via preliminare, verranno analizzati i fondamenti su cui si basa la teoria degli insiemi e il sistema di assiomi di Zermelo Fraenkel per la teoria degli insiemi. La sezione principale della tesi sarà incentrata sulla dimostrazione dell'indipendenza dell'ipotesi del continuo tramite l'utilizzo di modelli a valori Booleani. Dopo aver introdotto il modello interno degli insiemi costruibili ed i modelli a valori booleani, si fornirà una dimostrazione dell'indipendenza dell'ipotesi del continuo all'interno della teoria ZF, fornendo inoltre un accenno al concetto di forcing di Cohen ed all'equivalenza della dimostrazione tramite modelli booleani alla dimostrazione di indipendenza dell'ipotesi del continuo di Cohen.