Metodi variazionali per problemi di equilibrio in elasticità non lineare

The aim of this thesis is to present an important existence theorem in nonlinear elastostatics obtained by J.M. Ball in 1976. In the introductory part, some elements of Functional Analysis are summarized, including Sobolev spaces and the direct method of the Calculus of Variations, essential tools in the modern theory of partial differential equations. After a brief exposition of some aspects of the general theory of elasticity, including the characterization of the behavior of materials through constitutive relations, the proof of the existence theorem is provided. In the final part we discuss how the existence theorem can contribute to clarifying a fundamental problem in solid mechanics, namely that of determining general restrictions for constitutive relations that are physically significant. The applicability of the theorem to the Mooney-Rivlin solid model frequently used in modeling rubber-like materials is also exemplified.

Lo scopo di questa tesi è quello di presentare un importante teorema di esistenza in elastostatica non lineare ottenuto da J.M. Ball nel 1976. Nella parte introduttiva vengono riassunti alcuni elementi di Analisi Funzionale tra cui gli spazi di Sobolev e il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni, strumenti imprescindibili nella moderna teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Dopo una breve esposizione di alcuni aspetti della teoria generale dell'elasticità, tra cui la caratterizzazione del comportamento dei materiali mediante le relazioni costitutive, viene fornita la dimostrazione del teorema di esistenza. Nella parte conclusiva si discute come il teorema di esistenza possa contribuire a chiarire un problema fondamentale in meccanica di solidi, cioè quello di determinare delle restrizioni generali per le relazioni costitutive che siano fisicamente significative. Viene inoltre esemplificata l'applicabilità del teorema al modello di solido di Mooney-Rivlin frequentemente utilizzato nella modellazione di materiali simili alla gomma.