Teorema di Alexandrov ed esistenza quasi ovunque delle derivate seconde di funzioni convesse

L'obiettivo è quello di costruire gli strumenti necessari ad enunciare e dimostrare il Teorema di Alexandrov, il quale garantisce l'esistenza quasi ovunque delle derivate seconde delle funzioni convesse. Nella prima parte, sulla base del Teorema di Ricoprimento di Besicovitch, dimostriamo alcuni dei fatti più rilevanti dell'Analisi Reale (Lemma di Radon-Nykodim, Teorema di Decomposizione di misure di Radon, Teorema di differenziazione di Lebesgue). Dopodiché, dedichiamo la parte centrale a un rapido studio delle misure a valori matriciali e della loro decomposizione polare, presentando le proprietà più importanti. Infine, studiamo le funzioni convesse e, servendoci del Teorema di differenziazione di Lebesgue e della decomposizione polare, giungiamo a una dimostrazione completa del Teorema di Alexandrov.