Forma lineare delle equazioni di Friedmann e probabilità quasi-classica

The Friedmann equations are introduced as a pair of second-order differential equations that describe the expansion of the Universe. From the assumption of a Universe homogeneous in spacetime and isotropic in space, the Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric is derived. Considering then the Universe as a perfect fluid, the Friedmann equations follow. A fundamental consequence of these equations is that, by analyzing the redshift effect in the FLRW metric, one obtains the relation P\propto a^-1(t) with P being the momentum of a free falling particle and a(t) the scale factor. Once introduced the Friedmann equations, it is possible to linearize them by using the properties of the Schwarzian derivative. This is done first for vanishing curvature \kappa, obtaining the canonical eigenvalue form O_\beta \phi_\beta = \beta^2 \Lambda c^2/3 \phi_\beta, where O_\beta := d^2/dt^2+V_\beta is the space-independent Klein-Gordon operator. Then, the case with \kappa \neq 0 and \beta = 1/2 is treated and the Schwarzian derivative is used to absorb the curvature term. The equations in this case are equivalent to the eigenvalues problems O_1/2 \psi = \Lambda c^2/12 \psi and O_1 a = \Lambda c^2/3 a, and the solutions are \psi = \sqrt{a} exp(+- ic/2 \sqrt{\kappa} \eta), where \eta:=\int^{t_o}_t a^-1(t') dt' is the conformal time. It turns out that it is possible to generalize the previous equations even for arbitrary \beta-times, without getting linear equations, using the relation that stands between the Schwarzian and the Riccati equations. Remarkably, the comparison with a first order WKB approximation of the Schrödinger equation opens the possibility to a “quantum interpretation” of the Friedmann equations. In particular, starting from the solutions of the linear Friedmann equations it is possible to notice an analogy with the WKB approximate solutions of Quantum Mechanics. This makes it possible to consider them as the WKB approximation of the quantum Friedmann equation. This leads to a quantum scale factor, which has the scale factor as classical approximation. This suggests the existence of some interesting similarities between General Relativity and Quantum Mechanics.

Le equazioni di Friedmann sono introdotte come una coppia di equazioni differenziali del second'ordine che descrivono l'espansione dell'Universo. Assumendo un Universo omogeneo nello spaziotempo ed isotropo nello spazio, si può derivare la metrica di Friedmann- Lemaître-Robertson-Walker. Considerando poi l'Universo come un fluido perfetto, si ottengono le equazioni di Friedmann. Una conseguenza importante di queste equazioni è che, analizzando l'effetto redshift nella metrica di FLRW, si ottiene la relazione P\propto a^-1(t) con P la quantità di moto di una particella libera e a(t) il fattore di scala. Una volta introdotte le equazioni di Friedmann, è possibile linearizzarle utilizzando le proprietà della derivata Schwarziana. Ciò viene fatto prima per curvatura \kappa nulla, ottenendo la forma canonica degli autovalori O_\beta \phi_\beta = \beta^2 \Lambda c^2/3 \phi_\beta, dove O_\beta := d^2/dt^2+V_\beta è l'operatore di Klein-Gordon indipendente dallo spazio. Quindi, viene trattato il caso in cui \kappa\neq0 e \beta=\frac{1}{2} e la derivata Schwarziana viene utilizzata per assorbire il termine di curvatura. Le equazioni in questo caso sono equivalenti ai problemi agli autovalori O_1/2 \psi = \Lambda c^2/12 \psi e O_{1} a = \Lambda c^2/3 a, e le soluzioni sono \psi = \sqrt{a} exp(+- ic/2 \sqrt{\kappa} \eta), dove \eta:=\int^{t_o}_t a^-1(t') dt' è il tempo conforme. È inoltre possibile generalizzare le equazioni precedenti anche per \beta-tempi arbitrari, senza ottenere equazioni lineari, utilizzando la relazione tra l'equazione di Schwarz e quella di Riccati. Sorprendentemente, il confronto con l'approssimazione WKB al prim'ordine dell'equazione di Schrödinger apre la possibilità ad una “interpretazione quantistica” delle equazioni di Friedmann. In particolare, partendo dalle soluzioni delle equazioni di Friedmann lineari è possibile notare un'analogia con le soluzioni approssimate WKB della Meccanica Quantistica. Ciò rende possibile considerarle come l'approssimazione WKB dell'equazione di Friedmann quantistica. Viene quindi introdotto un fattore di scala quantistico, che ha il fattore di scala come approssimazione classica. Questo suggerisce l'esistenza di alcune analogie tra la Relatività Generale e la Meccanica Quantistica.