Espressione esplicita della forma di Mumford sullo spazio dei moduli delle superfici di Riemann e la misura di Polyakov della stringa bosonica

In string theory one consider one-dimensional objects instead of point-like particles. In 1981 Polyakov extended the path integral formulation from the known Feynman formulation to a sum over the surfaces traced out by the string [1]. This thesis begins with a brief overview of Feynman path integral as introduction. We then will start formulating the closed bosonic string, so the world surface traced out by the it (the “path”) will be a Riemann surface [2]. Being developed for more than a century with no connection with strings, the Riemann surface theory covers a huge number of problems and results, but only compact Riemann surfaces are of physical interest, thus definition and fundamental facts about this objects will be given. Particular focus is dedicated to the uniformization theorem and the description of the moduli (parameters defining inequivalent surfaces) space, this last one is in fact the space of integration of the partition function that will be performed. The Polyakov action indeed is invariant under transformations bringing a surface to an equivalent (conformal) one, this huge gauge symmetry which would cause the integral to diverge is (factored out) eliminated by Faddeev-Popov method and by setting the dimension of the space time its critical dimension d = 26 and letting only integration over moduli, which parameterize variations of the metric leading to inequivalent surfaces. In this dimension it was showed by Beilinson, Manin [3] and Belavin, Knizhnik [4] that the Polyakov measure is related to the Mumford form [5] which can be expressed in term of theta functions and related quantities. These objects, also born as utilities for pure mathematics (their origin is attributed to Euler), highlight properties of the measure to be discussed at the end of the thesis. Finally more recent results will be reported.

In teoria delle stringhe si considerano oggetti unidimensionali invece di particelle puntiformi. Nel 1981 Polyakov estese la formulazione dell’integrale sui cammini, dalla nota formulazione di Feynman, a una somma sulle superfici tracciate dalla stringa [1]. Questa tesi inizia con una breve panoramica dell’integrale sui cammini di Feynman come introduzione. Successivamente, inizieremo a formulare la teoria della stringa bosonica chiusa, quindi la superficie tracciata da essa (il “cammino”) sarà una superficie di Riemann [2]. Essendo stata sviluppata per più di un secolo senza alcuna connessione con le stringhe, la teoria delle superfici di Riemann contiene un enorme numero di problemi e risultati, ma solo le superfici di Riemann compatte sono di interesse fisico, quindi verranno date definizioni e fatti fondamentali su questi oggetti. Particolare attenzione è dedicata al teorema di uniformizzazione e alla descrizione dello spazio dei moduli (parametri che definiscono superfici non equivalenti), l’integrazione della funzione di partizione verrà infatti eseguita su quest’ultimo spazio. L’azione di Polyakov è infatti invariante sotto trasformazioni che trasformano una superficie in un’altra equivalente (conforme), questa grande simmetria di gauge che causerebbe la divergenza dell’integrale è eliminata mediante il metodo di Faddeev-Popov e impostando la dimensione dello spazio-tempo alla sua dimensione critica d = 26, lasciando solo l’integrazione sui moduli, che parametrizzano le variazioni della metrica che portano a superfici non equivalenti. In questa dimensione è stato dimostrato da Beilinson, Manin [3] e Belavin, Knizhnik [4] che la misura di Polyakov si può scrivere in funzione della forma di Mumford [5], che può essere espressa in termini di funzioni theta e quantità correlate. Questi oggetti, nati anche come strumento per la matematica pura (la loro origine è attribuita a Eulero), evidenziano proprietà della misura che saranno discusse alla fine della tesi. Infine, verranno riportati risultati più recenti.