Convergenza di martingale

Le martingale sono una famiglia di processi stocastici che hanno acquisito sempre più importanza nella teoria della probabilità. Questa rilevanza deriva da una estrema versatilità, che le permette di trovare applicazione in molti ambiti fra cui la finanza e la biologia. La tesi ha lo scopo di analizzare da un punto di vista teorica il concetto di martingale, con particolare attenzione alla loro convergenza. Una parte significativa del lavoro è dedicato allo sviluppo di alcuni argomenti introduttivi che permettono al lettore di avere le basi per riuscire a comprendere tutti i contenuti presenti nella tesi. In particolare: Il primo capitolo introduce i concetti di spazi di misura e σ-algebre. Il secondo capitolo si focalizza sui processi stocastici a tempo discreto e sulle filtrazioni. Il terzo capitolo tratta la speranza condizionale, con particolare attenzione alle sue proprietà e al teorema fondamentale di Kolmogorov. Il quarto capitolo analizza le martingale, insieme a concetti correlati come submartingale, supermartingale, e tempi d’arresto, utilizzando anche esempi pratici. Infine Il quinto capitolo si concentra sui teoremi di convergenza per le martingale partendo dalla definizione di convergenza di variabili aleatorie, integrabilità uniforme e upcrossing.