Geometrie ellittiche ed iperboliche

Com'è noto, per geometria euclidea si intende lo studio del piano e delle sue forme a partire dai 5 postulati di Euclide. I tentativi di ricondurre il quinto postulato ai precedenti ha portato storicamente sia a dimostrare che esso ne è invece indipendente, sia a costruire geometrie in cui tale postulato non vale. Da un punto di vista moderno, la geometria euclidea viene costruita a partire da uno spazio proiettivo reale, con una fissata scelta di un iperpiano "all'infinito" e di una forma quadratica definita positiva su tale iperpiano. L'iperpiano scelto può essere considerato come una quadrica degenere (detta assoluto), e ci si può a questo punto chiedere come cambi la geometria dello spazio se si fissa invece all'infinito una quadrica non degenere. Grazie a questo procedimento possiamo definire in modo sistematico le cosiddette geometrie non euclidee, e anche ritrovare la geometria euclidea come un caso limite (degenere) delle geometrie non euclidee. La tesi si focalizzerà sullo studio dei casi 2-dimensionali: verranno descritte, fissando una conica non degenere all'infinito sul piano proiettivo reale, le costruzioni delle geometrie non euclidee piane. In particolare si parlerà di piano ellittico se si sceglie come assoluto una conica priva di punti reali, e in questo piano si definirà di conseguenza la geometria ellittica. Si parlerà invece di piano iperbolico se l'assoluto contiene punti reali, e in questo piano si definirà invece la geometria iperbolica. La costruzione delle due metriche seguirà procedimenti analoghi sebbene nel piano iperbolico, a causa della diversa natura dei punti della conica all'infinito, diventerà necessario distinguere i punti del piano proiettivo a seconda della loro valutazione rispetto all'assoluto. L'intero elaborato si è basato sull'analisi e rielaborazione dei risultati descritti da Enrico Bompiani nelle sue note dattiloscritte dal titolo "Metriche non-euclidee" degli anni 1951-1952.